Question

19．如图所示，在正交坐标系Oxyz中，分布着电场和磁场（图中未画出）．在Oyz平面的左方空间内存在沿y轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在Oyz平面右方、Oxz平面上方的空间内分布着沿z轴负方向、磁感应强度大小也为B匀强磁场；在Oyz平面右方、Oxz平面下方分布着沿y轴正方向的匀强电场．在t=0时刻，一个微粒的质量为m、电荷量为q的微粒从P点静止释放，已知P点的坐标为（5a，-2a，0），电场强度大小为$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$，不计微粒的重力．
求：
（1）微粒第一次到达x轴的速度大小v和时刻t₁；
（2）微粒第一次到达y轴的坐标和时刻t₂；
（3）假设在平面Oyz存在一层特殊物质，使微粒每次经过Oyz平面时，速度大小总变为原来的$\frac{1}{2}$，求在时刻t₃=t₂+$\frac{4πm}{qB}$时，电荷所在位置的坐标．

Answer 1

分析 （1）在电场中微粒做匀加速直线运动，根据动能定理求出微粒第一次到达x轴的速度大小v，由位移时间公式求解运动的时间．
（2）画出粒子微粒运动的轨迹．根据洛伦兹力充当向心力，列式求出轨迹半径，由几何关系求微粒第一次到达y轴的坐标．由周期求时间．
（3）粒子运动过程中速度始终与所在位置的磁场垂直，粒子刚好在oyz平面左右空间各运动半个周期后交替运动，粒子速度改变后在磁场中运动的周期不变，根据分析可知，微粒在oyz平面左方运动的轨迹为两个半圆和四分之一圆，在oyz平面右方运动的轨迹为两个半圆，分别穿过oyz平面5次．由几何知识求电荷的坐标．

解答 解：（1）在电场中微粒做匀加速直线运动，由题意E=$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$
由动能定理得：qE•2a=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\frac{aqB}{m}$
由$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}$${t}_{1}^{2}$=2a
得：t₁=$\frac{4m}{qB}$
（2）当微粒在磁场中运动时，轨迹如下图所示．假设运动的轨道半径为R，

有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 R=a                    
所以微粒到达y轴的坐标为（0，a，0）．
磁场运动的周期 T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
则运动到达y轴的时刻 t₂=5t₁+$\frac{5}{4}T$
解得：t₂=$（\frac{40+5π}{2}）$$\frac{m}{qB}$
（3）粒子运动过程中速度始终与所在位置的磁场垂直，粒子刚好在oyz平面左右空间各运动半个周期后交替运动，因为：t₃-t₂=$\frac{9}{4}$T

且粒子速度改变后在磁场中运动的周期不变，根据分析可知，微粒在oyz平面左方运动的轨迹为两个半圆和四分之一圆，在oyz平面右方运动的轨迹为两个半圆．分别穿过oyz平面5次．所以：
x轴坐标为：x=-$（\frac{1}{2}）^{5}$a=-$\frac{1}{32}$a
y轴坐标为：y=a+$（\frac{1}{2}）^{2}$a×2+$（\frac{1}{2}）^{4}$a×2=$\frac{13}{8}$a
z轴坐标为：z=$（\frac{1}{2}）$a×2+$（\frac{1}{2}）^{3}$a×2+$（\frac{1}{2}）^{5}$a=$\frac{41}{32}$a
因此t₃时刻的坐标为（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．
答：
（1）微粒第一次到达x轴的速度大小v为$\frac{aqB}{m}$，时刻t₁为$\frac{4m}{qB}$．
（2）微粒第一次到达y轴的坐标为（0，a，0），时刻t₂为$（\frac{40+5π}{2}）$$\frac{m}{qB}$．
（3）在时刻t₃=t₂+$\frac{4πm}{qB}$时，电荷所在位置的坐标为（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．

点评 本题考查了粒子在电磁场、在电场中的运动，关键要分析清楚粒子运动过程，画出粒子的运动轨迹，要有空间想象能力，并能应用动能定理、牛顿第二定律、运动学公式等力学规律解答．