Question

10．如图，直角三角形ABC是一个用折射率n=$\frac{{\sqrt{17}}}{3}$的介质做成的三棱柱的横截面图，∠C为直角，∠A=30°．此截面所在平面内的一束光线沿与BC边成θ角（θ＜90°）的方向入射到BC边的中点D处，若要光线进入三棱柱后能射到AC边上且能在AC边上发生全反射，则cosθ应满足什么条件？

Answer 1

分析 若要光线进入三棱柱后能射到AC边上且能在AC边上发生全反射，则光线在AC面上入射角大于等于临界角C，由折射定律和几何关系结合解答．

解答 解：作出光路图如图所示．
在D点，由折射定律得：n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin（90°-θ）}{sinr}$=$\frac{cosθ}{sinr}$
设临界角为C，光线在AC面上的折射角为α．
光线在AC面上发生全反射，必须满足 α≥C
由临界角公式有：sinC=$\frac{1}{n}$
可得 sinα≥sinC=$\frac{1}{n}$
由几何知识得：r+α=90°
则有：sinr=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$
联立解得：cosθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$
答：cosθ应满足的条件是 cosθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$．

点评 解答本题的关键掌握全反射的条件和临界角公式，利用几何关系找出入射角α、折射角r之间的关系，由折射定律进行研究．