题目内容

10．如图所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨，间距为L=0.50m，导轨上端接有电阻R=0.80Ω，导轨电阻忽略不计．空间有一水平方向的有理想上边界的匀强磁场，磁感应强度B=0.40T、方向垂直于金属导轨平面向外，质量为m=0.02kg、电阻r=0.20Ω的金属杆MN，从静止开始沿着金属导轨下落．以v0=2.5m/s的速度进入匀强磁场中，在磁场中下落H=4m时开始匀速运动，下落过程中金属刚始终与两导轨垂直且接触良好，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力．
（1）求棒在匀强磁场中匀速运动时速度的大小；
（2）棒从开始下落至刚匀速过程中R中产生的热量Q；
（3）棒从开始下落至刚匀速过程所用时间．

分析 （1）棒在匀强磁场中匀速运动时，金属棒重力的功率等于电功率，据此列式，求解速度的大小．
（2）根据能量守恒求出回路中产生的总热量，再得到R中产生的热量．
（3）根据牛顿第二定律和加速度的定义式，由微元法求解时间．

解答 解：（1）设棒在匀强磁场中匀速运动时速度的大小为v，由能量守恒得：
   mgv=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
又 E=BLv
联立得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.02×10×1}{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}}$=5m/s
（2）棒从开始下落至刚匀速过程中，根据能量守恒得
回路产生的总热量  Q总=mgH+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.6125J
则R中产生的热量 Q=$\frac{R}{R+r}$Q总=$\frac{0.8}{0.8+0.2}$×0.6125J=0.49J
（3）棒从开始下落至刚匀速过程中，取极短时间△t，棒的速度变化量为△v．
则加速度为 a=$\frac{△v}{△t}$
根据牛顿第二定律得 mg-BIL=ma
I=$\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
联立得 mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}v$=m$\frac{△v}{△t}$
即mg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}v$△t=m△v
两边取和得  mg$\sum_{\;}^{\;}$△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}v$△t=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
则得mgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}H}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=mv-mv0；
代入得 0.2t-$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×4}{1}$=0.02×（5-2.5）
解得 t=1.05s
答：
（1）棒在匀强磁场中匀速运动时速度的大小为5m/s；
（2）棒从开始下落至刚匀速过程中R中产生的热量Q是0.49J；
（3）棒从开始下落至刚匀速过程所用时间是1.05s．

点评 解决本题的关键要熟练推导出安培力与速度的关系，利用加速度的定义式和牛顿第二定律，采用微元法求解变加速运动的时间．

练习册系列答案
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