Question

据报道，2007年10月24日18时05分04.602秒我国的“嫦娥一号”卫星成功发射升空！圆了中国人几千年的梦想．我国整个探月工程分为“绕”、“落”、“回”3个阶段，第一期绕月工程就是通过发射探月卫星“嫦娥一号”，对月球表面环境、地貌、地形、地质构造与物理场进行探测．设嫦娥一号对月球进行科学探测时离月球表面的高度为h，周期为T，月球的半径为R，则
（1）月球的质量是多少？（用h、T、R表示）
（2）嫦娥探月计划以后将从月球表面采集样本送回地球，第一步是使月球登陆器离开月球表面绕月飞行，则能使登陆器离开月球表面所需的最小速度是多少？（用h、T、R表示）

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)，计算月球的质量M．
2、根据万有引力提供向心力G

Mm0

R2

=

mv02

R

，结合计算出来的月球的质量M，化简可得登陆器离开月球表面所需的最小速度．

解答：解：（1）设嫦娥一号的质量为m，月球的质量为M由万有引力定律可知嫦娥一号受月球的万有引力为
F万=G

Mm

r2

=G

Mm

(R+h)2

嫦娥一号所需的向心力为：F向=mω2r=m(

2π

T

)2(R+h)
绕月飞行时万有引力等于所需的向力F_万=F_向
联立解得M=

4π2(R+h)3

GT2

（2）设登陆器的质量为m₀，能使登陆器离开月球表面所需的最小速度为v
由万有引力定律可知登陆器在月球表面受月球的万有引力为
F万′=G

Mm

r2

=G

Mm0

R2

登陆器有月球表面绕月飞行时所需的向心力为
F向′=

mv2

r

=

mv02

R

绕月飞行时万有引力等于所需的向力F_万′=F_向′
联立解得v=

2π(R+h)

T

R+h R

答：（1）月球的质量是

4π2(R+h)3

GT2

；
（2）登陆器离开月球表面所需的最小速度是

2π(R+h)

T

R+h R

．

点评：解决本题的关键就是要掌握万有引力提供向心力这一关系，同时要能根据题目的要求熟练选择向心力的表达式．