Question

如图所示的平面直角坐标系中，虚线OM与x轴成45°角，在OM与x轴之间（包括x轴）存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在y轴与OM之间存在竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场，有一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以某速度沿x轴正方向从O点射入磁场区域并发生偏转，不计带电粒子的重力和空气阻力，在带电粒子进入磁场到第二次离开电场的过程中，求
（1）若带电粒子从O点以速度V₁进入磁场区域，求带电粒子第一次离开磁场的位置到O点的距离？
（2）若带电粒子第二次离开电场时恰好经过O点，求粒子最初进入磁场时速度V的大小？并讨论当V变化时，粒子第二次离开电场时速度大小与V大小的关系．

Answer 1

（1）带电粒子进入磁场中，受到洛伦兹力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
    qv₁B=m

v 21

R

得轨迹半径 R=

mv1

qB

设粒子从N点离开磁场，如图，由几何知识知，ON=

2

R=

2 mv1

qB

（2）带电粒子进入电场时做类平抛运动，第二次离开电场时恰好经过O点，画出轨迹，则
   水平位移  x=2R=vt
   竖直位移  y=2R=

1

2

at2
  而a=

qE

m

联立得：v=

E

B

讨论：
i）若v＞

E

B

，则粒子从y轴离开电场，水平位移为x=2R=

2mv

qB

=vt，得t=

2m

qB

离开电场时竖直分速度v_y=at=

qE

m

?

2m

qB

=

2E

B

带电粒子离开电场时速度大小为u=

v 2y +v2

=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，则粒子从OM边界离开电场，粒子在x、y两个方向的分位移相等．
   x=vt
   y=

vy

2

t
则得v_y=2v
所以粒子离开电场时速度大小为u=

v 2y +v2

=

5

v．
答：
（1）若带电粒子从O点以速度V₁进入磁场区域，带电粒子第一次离开磁场的位置到O点的距离为

2 mv1

qB

．
（2）若带电粒子第二次离开电场时恰好经过O点，粒子最初进入磁场时速度V的大小为

E

B

．当V变化时，粒子第二次离开电场时速度大小与V大小的关系如下：
i）若v＞

E

B

，则粒子带电粒子离开电场时速度大小为u=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，则粒子离开电场时速度大小为u=

5

v．