Question

如图所示，A为位于一定高度处的质量为m的小球，B为位于水平地面上的质量为M的长方形空心盒子，盒子足够长，且M = 2m，盒子与地面间的动摩擦因数=0.2．盒内存在着某种力场，每当小球进入盒内，该力场将同时对小球和盒子施加一个大小为F=Mg、方向分别竖直向上和向下的恒力作用；每当小球离开盒子，该力F同时立即消失．盒子的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以v=1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v₀=6m/s的速度向右滑行．取重力加速度g=10m/s²，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子．试求：

    （1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；

    （2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；

    （3）从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．

Answer 1

解析：（1）A在盒子内运动时，根据牛顿第二定律有

    解得 a = g

    A在盒子内运动的时间      A在盒子外运动的时间

    A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间

    （2）小球在盒子内运动时，盒子的加速度=4m/s²   

    小球在盒子外运动时，盒子的加速度

    小球运动一个周期盒子减少的速度为

    从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为

    故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．

    （3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为 m

    小球第一次从盒子出来时，盒子的速度 m/s

    小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 =1m

    小球第二次进入盒子时，盒子的速度 m/s

    小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为 m

    小球第二次从盒子出来时，盒子的速度 m/s

    小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 m

    …………

    分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差d＝0.12m．且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s内盒子通过的路程为0.04m．

    所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为

   

    ［评分说明］：第（1）问4分，第（2）、（3）两问各5分．