Question

3．如图所示为一个盛有某种液体的槽，槽的中部扣着一个圆锥形薄壁透明罩，其侧视图为等边三角形ACB，罩内为空气，整个罩子恰好全部浸没在液体中，槽底AB的中点（即圆锥的底面圆心）处有一个点光源D，若槽内液体的折射率n=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，等边三角形ACB的边长为a，要使点光源D发出的光不能射出液面，需要把圆锥形透明罩的上部从内部涂黑，试求：圆锥形透明罩上部涂黑的面积S．

Answer 1

分析 根据题目已知条件作出光路图，通过折射率求出全反射的临界角，通过几何关系求出光发生全反射时在BC面上的入射角，通过数学几何知识求出圆锥形透明罩上部涂黑的面积S．

解答 解：光路图如图所示：

全反射临界角为C，$sinC=\frac{1}{n}$，
在P点，$n=\frac{sinα}{sinβ}$，C=60°-β，
联立解得$sinα=\frac{1}{2}$，则α=30°．
则P为BC边的中点，故涂黑部分的圆锥体的底面圆的半径$r=\frac{a}{4}$，母线$l=CP=\frac{a}{2}$，
则涂黑部分的面积为$S=πrl=\frac{π}{8}{a^2}$．
答：圆锥形透明罩上部涂黑的面积S为$\frac{π}{8}{a}^{2}$．

点评 解决本题的关键要掌握全反射的条件，要利用几何知识结合进行解答，正确作出光路图是基础，能熟练运用折射定律解答．