Question

（2012?福州模拟）在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置，在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳的运行．图2为其示意图．图3为其模拟的太阳系行星运动图．图2中球离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离．
（1）在图3中，设行星A₁和B₁，离太阳距离分别为r₁，和r₂，求A₁、B₁，运行速度大小之比．
（2）在图2中，若质量为m的A球速度大小v，在距离中心轴为x₁的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心．当其运动到距离中心轴为x₂的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H．求此过程中A球克服摩擦阻力所做的功．

Answer 1

分析：人造地球卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，再运用牛顿第二定律列方程求线速度与半径的关系．A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心的过程中，重力与摩擦力做功，要根据动能定理来解题，

解答：解：（1）设A₁和B₁的质量分别为m₁和m₂
根据万有引力定律和牛顿运动定律

GMm1

r 2 1

=

m1 v 2 1

r1

GMm2

r 2 2

=

m1 v 2 2

r2

     联立解得 

v1

v2

=

r2 r1

（2）设小球距离中心轴x₂的轨道面运动的速度为v′，
由于小球的运动模拟行星运动，
有  

v

v′

=

x2 x1

根据动能定理：mgH -Wf=

1

2

mv′2-

1

2

mv2
联立解得：Wf=mgH-

1

2

mv′2+

1

2

mv2=mgH-

m(x1-x2)v2

2x2

答：（1）求A₁、B₁，运行速度大小之比

v1

v2

=

r2 r1

；（2）克服摩擦阻力所做的功Wf=mgH-

m(x1-x2)v2

2x2

．

点评：人造地球卫星做匀速圆周运动，一定要使用万有引力提供向心力的公式来讨论半径与线速度的关系．A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心的过程中，重力与摩擦力做功，mgH -Wf=

1

2

mv′2-

1

2

mv2．