Question

如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r₀，导轨的端点O、O′用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为．导轨处于垂直纸面向里的非匀强磁场中，磁场的磁感应强度B沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有B=kx，其中k为常数．一根质量为m、电阻不计的金属杆MN静止在坐标原点O、O′处．从t=0时刻，金属杆MN在拉力F作用下，以大小恒定为a的加速度在导轨上沿x方向无摩擦地滑动，滑动过程中杆保持与导轨垂直．求
（1）在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小；
（2）在时刻t金属杆MN所受的外力F；
（3）感应电动势的平均值与位移为x的函数关系；
（4）若在时刻t撤去拉力F，试说明金属杆MN此后做什么运动，并求此后电路发出的热量．

Answer 1

（1）在时刻t，有杆通过的位移大小为x=

1

2

at2
此时B=kx=

1

2

kat²，v=at
所以在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小为
   E=Blv=

1

2

kla²t³
（2）据题知，在时刻t，回路的总电阻R=2xr₀=ar₀t²
所以在t时刻流经回路的感应电流大小为
   I=

E

R

=

klat

2r0

根据右手定则判断知，感应电流方向为NMPQN（逆时针方向）．
在t时刻金属杆MN所受的安培力大小为
   F_安=BIl
代入解得，F_安=

k2a2l2t3

4r0

根据牛顿第二定律得
   F-F_安=ma
解得 F=ma+

k2a2l2t3

4r0

（3）位移为x时，杆运动的时间为△t=t=

2x a

由于B随x均匀变化，则感应电动势平均值为

.

B

=

0+kx

2

=

1

2

kx
根据法拉第电磁感应定律得 

.

E

=

△Φ

△t

=

. B ?△S

△t

，
又△S=lx
联立以上各式得

.

E

=

2a klx 3 2

4

（4）撤去拉力F，金属杆MN受到安培力作用而减速运动，由能量守恒定律得
   Q=

1

2

mv2=

1

2

ma2t2
答：
（1）在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小为

1

2

kla²t³；
（2）在时刻t金属杆MN所受的外力F为ma+

k2a2l2t3

4r0

；
（3）感应电动势的平均值与位移为x的函数关系为

.

E

=

2a klx 3 2

4

；
（4）若在时刻t撤去拉力F，金属杆MN此后做减速运动，此后电路发出的热量为

1

2

ma2t2．