Question

3．如图所示，质量为m的小球，由长为R的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，在AB上钉铁钉D，线能承受的最大拉力是10mg（g为重力加速度），现将细线沿水平方向拉直，然后由静止释放，不计线与钉子碰撞时的能量损失，不计空气阻力，求：
（1）小球刚到达最低点时速度的大小；
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子到A点距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）小球下摆的过程中，绳子的拉力不做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求小球刚到达最低点时速度的大小；
（2）小球在竖直平面内要做圆周运动，最高点的速度应大于等于$\sqrt{gr}$，r是圆周的半径，碰钉子后的圆周运动的半径越小越容易满足条件；根据机械能守恒定律和牛顿第二定律分别列式后联立求解出临界半径，从而得解．

解答 解：（1）小球到达最低点时，由机械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v^2}=mgR$
得：$v=\sqrt{2gR}$
（2）设钉子到A的距离为x₁，此时细线承受的拉力是10mg，由牛顿第二定律得 $10mg-mg=m\frac{v^2}{{R-{x_1}}}$
代入数据得：${x_1}=\frac{7}{9}R$
设钉子到A的距离为x₂，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，则在圆周的最高点有 $mg=m\frac{v_m^2}{{R-{x_2}}}$
从最低点上升到最高点的过程有 $\frac{1}{2}m{v^2}=mg2（R-{x_2}）+\frac{1}{2}mv_m^2$
代入数据得：${x_2}=\frac{3}{5}R$
因此钉子到A点距离应x₂≤x≤x₁，即$\frac{3}{5}R≤x≤\frac{7}{9}R$
答：
（1）小球刚到达最低点时速度的大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）钉子到A点距离的取值范围是$\frac{3}{5}R≤x≤\frac{7}{9}R$．

点评 本题关键找出临界状态，然后根据机械能守恒定律和牛顿第二定律列式后联立求解．