Question

8．如图所示，光滑水平面上有一质量为2M、半径为R（R足够大）的圆弧曲面C，质量为M的小球B置于其底端，另一个小球A质量为$\frac{M}{2}$，以v₀=6m/s的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均视为质点，求：
（1）小球B的最大速率；
（2）小球B运动到圆弧曲面最高点时的速率；
（3）通过计算判断小球B能否与小球A再次发生碰撞．

Answer 1

分析 （1）A与B发生弹性碰撞，碰后B的速率最大，由动量守恒定律和动能守恒结合求小球B的最大速率；
（2）小球B运动到圆弧曲面最高点时B与C共速，由水平方向动量守恒求B的速率；
（3）根据B、C系统的水平方向动量守恒和机械能守恒求出小球B返回C的底端时的速率，与A的速率比较，分析B能否与小球A再次发生碰撞．

解答 解：（1）A与B发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律和动能守恒得：
  $\frac{M}{2}$v₀=$\frac{M}{2}$v_A+Mv_B；
由动能守恒得：$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v₀²=$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²；
解得 v_A=-2m/s，v_B=4m/s
故B的最大速率为4m/s．
（2）B冲上C并运动到最高点时二者共速设为v，则
  Mv_B=（M+2M）v
可以得到：v=$\frac{4}{3}$m/s．
（3）从B冲上C然后又滑下的过程，设BC分离时速度分别为v_B′、v_C′．
由水平动量守恒有
   Mv_B=Mv_B′+2Mv_C′
机械能也守恒，有$\frac{1}{2}$Mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_B′²+$\frac{1}{2}$•2Mv_C′²
联立可以得到：v_B′=-$\frac{4}{3}$m/s
由于|v_B′|＜|v_A|，所有二者不会再次发生碰撞．
答：
（1）小球B的最大速率是4m/s；
（2）小球B运动到圆弧曲面最高点时的速率是$\frac{4}{3}$m/s．
（3）小球B不能与小球A再次发生碰撞．

点评 本题要分析清楚物体运动过程，抓住碰撞过程动量守恒与机械能守恒，B在C上运动的过程水平动量守恒与机械能守恒进行研究．要注意B在C上运动时总动量并不守恒．