Question

3．如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的匀强磁场．质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动．A、B为两块中心开有小孔的极板，板间距为d．A、B板原来电势都为零，每当粒子飞经A板向B板运动时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速．每当粒子离开B板时，A板电势又降为零．粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变．粒子的重力忽略不计．
（1）设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速．求粒子第一次穿过B板时速度v₁的大小；
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．求粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小B_n；
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间t_n总．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出第一次经电场加速后的速度．
（2）由洛仑兹力提供向心力求出半径公式r=$\frac{mv}{qB}$，由于半径不变，但速度不断增大，则只有磁感应强度B也要不断增大，才能保证半径不变，求出绕行第n圈时的速度大小，由洛仑兹力提供向心力就能求得绕行第n圈时所需的磁感应强度．
（3）分别求出粒子在磁场中第1圈、第2圈…第n圈绕行所用时间，相加之后再加上在电场中n次加速的总时间，就得到粒子绕行n圈r所需总时间t_n总

解答 解：（1）粒子从静止开始第一次加速时，由动能定理$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
  解得：v₁=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子绕行第n圈时，nqU=$\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}$
 粒子受到的洛仑兹力提供向心力，qv_nB_n=$\frac{m{{v}_{n}}^{2}}{R}$
  解得：B_n=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$
（3）粒子在磁场中绕行第n圈的周期T_n=$\frac{2πR}{{v}_{n}}=\frac{2πm}{q{B}_{n}}$
  粒子在磁场中绕行第1圈所用时间t_磁1=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，B₁=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×1mU}{q}}$
  粒子在磁场中绕行第2圈所用时间t_磁2=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，B₂=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×2mU}{q}}$
  粒子在磁场中绕行第3圈所用时间t_磁3=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$，B₃=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×3mU}{q}}$
余次类推，粒子在磁场中绕行第n圈所用时间t_磁n=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，B_n=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×nmU}{q}}$
  解得：t_磁n总=t_磁1+t_磁2+t_磁3+…+t_磁n=$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$
设粒子在电场中绕行n圈所用总时间为t_电n总，有a=$\frac{qU}{dm}$
  nd=$\frac{1}{2}a{{t}_{电n总}}^{2}$
 则粒子绕行n圈所需的总时间
  t_n总=t_磁n总+t_电n总=$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$+$\sqrt{\frac{2nm{d}^{2}}{qU}}$
答：（1）设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速．粒子第一次穿过B板时速度的大小v₁为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小B_n为$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．
（3）粒子绕行n圈所需的总时间t_n总为$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$+$\sqrt{\frac{2nm{d}^{2}}{qU}}$．

点评 本题的不同之处是在回旋加速器的基础上进行改装的加速器，只是粒子做匀速圆周运动的半径始终为盒的半径R不变，但由于每经过同一地点均要加速粒子，所以粒子的速度要增加，要保证半径不变则要每次的磁感应强度的大小也相应的增大．