Question

4．如图所示，质量为M，半径为R的光滑半圆槽先被固定在光滑水平面上，质量为m的小球，以某一初速度冲向半圆槽刚好可以到达顶端C．然后放开半圆槽，让其可以白由运动，m小球义以同样的初速度冲向半圆槽，小球最高可以到达与圆心等高的B点，（g=10m/s²）
试求：
（1）半圆槽被固定时，小球运动至C点后做平抛运动的水平射程x
（2）小球质量与半圆槽质量的比值$\frac{m}{M}$为多少？

Answer 1

分析 （1）在C点刚好由重力提供向心力，可解出在C点的速度，小球由C点开始做平抛运动，根据平抛运动的位移公式可求解水平射程x．
（2）半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理列方程．
然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，对m、M系统根据动量守恒定律、动能定理列式，根据以上三个方程化简，即可解出小球质量与半圆槽质量的比值．

解答 解：（1）小球刚好可以到达顶端C，刚好由重力提供向心力，则
 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以到达C点时的速度为 v₁=$\sqrt{gR}$
小球由C点做平抛运动，则
竖直方向上有 2R=$\frac{1}{2}$gt²
所以运动的时间为 t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向上的位移 x=v₁t=2R．
（2）半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理得：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₀²=5gR
然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，取水平向右为正方向．
对m、M系统根据动量守恒定律：
 mv₀=（m+M）v₂
对m、M系统根据机械能守恒得：
-mgR=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
联立以上三式解得：$\frac{m}{M}$=$\frac{3}{2}$
答：
（1）半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程为2R．
（2）小球质量与半圆槽质量的比值$\frac{m}{M}$为$\frac{3}{2}$．

点评 解答此题的关键能够分析在哪些过程运用动量守恒定律，哪些过程运用能量守恒定律或动能定理，难点是抓住小球到B点时沿水平向右两者有共同速度．