Question

1．航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m=2kg，动力系统提供的恒定升力F=28N．试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升．设飞行器飞行时所受的阻力大小不变且为4N，g取10m/s²．某次试飞，飞行器飞行t₁=6s时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力．试求：
（1）飞行器能达到的最大高度h；
（2）为了使飞行器不致坠落到地面，飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t．

Answer 1

分析 （1）失去升力飞行器受重力和阻力作用做匀减速直线运动，当速度减为0时，最大高度等于失去升力前的位移与失去升力后的位移之和；
（2）求飞行器从开始下落时做匀加速直线运动，恢复升力后做匀减速直线运动，为了使飞行器不致坠落到地面，到达地面时速度恰好为0，根据牛顿第二定律以及运动学基本公式即可求得飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间．

解答 解：（1）飞行器失去升力前做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
$F-mg-f=m{a}_{1}^{\;}$
代入数据：$28-2×10-4=2{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=6s$时，速度${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=2×6m/s=12m/s$
前6s内的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2×{6}_{\;}^{2}=36m$
6s后失去动力，根据牛顿第二定律有
$mg+f=m{a}_{2}^{\;}$
代入数据：$2×10+4=2{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=12m/{s}_{\;}^{2}$
匀减速上升的位移${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{1{2}_{\;}^{2}}{2×12}=6m$
飞行器能达到的最大高度$h={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=36+6=42m$
（2）设失去动力下降阶段的加速度为${a}_{3}^{\;}$，根据牛顿第二定律
$mg-f=m{a}_{3}^{\;}$
代入数据：$20-4=2{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=8m/{s}_{\;}^{2}$
恢复升力后向下做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，有
$F+f-mg=m{a}_{3}^{\;}$
代入数据：$28+4-20=2{a}_{4}^{\;}$
解得：${a}_{4}^{\;}=6m/{s}_{\;}^{2}$
开始恢复升力时速度为$v={a}_{3}^{\;}t=8t$
$\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{3}^{\;}}+\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{4}^{\;}}=h$
代入数据：$\frac{（8t）_{\;}^{2}}{2×8}+\frac{（8t）_{\;}^{2}}{2×6}=42$
解得：$t=\frac{3\sqrt{2}}{2}s$
答：（1）飞行器能达到的最大高度h为42m；
（2）为了使飞行器不致坠落到地面，飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t为$\frac{3\sqrt{2}s}{2}$

点评 本题的关键是对飞行器的受力分析以及运动情况的分析，结合牛顿第二定律和运动学基本公式求解，本题难度适中．