Question

我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射“嫦娥一号”和“嫦娥二号”月球探测卫星，标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步，在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都具有非常重大的意义，同学们也对月球有了更多的关注．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r₁；
（2）若将来我国的宇航员随登月飞船登陆月球后，宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，现给小球一瞬间水平速度V，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R_O，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球绕地球运转，万有引力定律提供向心力；对地球表面物体m有G

Mm

R2

=mg，联立方程即可求解；
（2）设月球表面重力加速度为g₁，小球在最高点的速度为v₁，由机械能守恒定律列出方程，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，重力提供向心力，联立方程即可求解．

解答：解：（1）月球绕地球运转，万有引力定律提供向心力：
G

M月M

r12

=M月(

2π

T

)2r1①
对地球表面物体m：G

Mm

R2

=mg②
联立①②解得：r₁=

3	gR2T2 4π2

（2）设月球表面重力加速度为g₁，小球在最高点的速度为v₁，由机械能守恒定律，小球在从最低点到最高点的过程中，有：

1

2

mV2=2mg1r+

1

2

m

V

2 1

③
由题意，小球在最高点时，有：mg1=m

V 2 1

r

④
联立③④解得：g1=

V2

5r

⑤
G

M月m

R02

=mg1⑥
联立⑤⑥解得：M月=

R 2 0 V2

5Gr

答：（1）月球绕地球运动的轨道半径r₁为

3	gR2T2 4π2

；
（2）月球的质量M_月为

R 2 0 V2

5Gr

．

点评：该题主要考查了天体运动向心力公式及机械能守恒定律，要注意黄金代换式G

Mm

R2

=mg的应用，难度适中．