Question

一质量为m的小球，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的．今把小球从O点的正上方离O点的距离为

8

9

R的O₁点以水平的速度V0=

3

4

gR

抛出，如图所示．试求：
（1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
（2）当小球到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

Answer 1

分析：（1）先将平抛运动沿水平和竖直方向正交分解，根据位移公式列式求解；
（2）细线刚刚绷紧时，将速度沿着细线方向和处置细线方向正交分解，沿细线方向速度迅速减小为零，垂直细线方向速度不变，之后物体绕O点做变速圆周运动，机械能守恒，先求出最低点速度，再根据向心力公式和牛顿第二定律求解拉力．

解答：解：（1）小球的运动可分为三个过程：
第一过程：小球做平抛运动．设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则V₀t=Rsinθ，

1

2

gt2=

8

9

R-Rcosθ，其中V0=

3

4

gR

联立解得θ=

π

2

，t=

4

3

R g

．
即轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为90°．
（2）第二过程：绳绷直过程．绳棚直时，绳刚好水平，如图所示．由于绳不可伸长，故绳绷直时，V₀损失，小球仅有速度V_⊥，且V⊥=gt=

4

3

gR

．
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动．设小球到达O点正下方时，速度为V′，根据机械能守恒守律有：

1

2

mV/2=

1

2

mV⊥2+mg?R
设此时绳对小球的拉力为T，则T-mg=m

V/2

R

，
联立解得：T=

43

9

mg．
故当小球到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为

43

9

mg．

点评：本题关键是将小球的运动分为三个过程进行分析讨论，平抛运动过程、突然绷紧的瞬时过程和变速圆周运动过程；然后根据对各段运用平抛运动位移公式、速度分解法则、机械能守恒定律和向心力公式列式求解．