Question

（2009?盐城一模）如图所示，间距为L的光滑导轨竖直固定，导轨下端接一阻值为R的电阻．t=0时在两水平虚线L₁、L₂之间加一变化的磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为B=Kt，方向垂直导轨所在平面．质量为m的金属棒AB两端套在导轨上并可沿导轨无摩擦滑动．在t=0时将金属棒在L₁上方由静止释放，在t=t₁时进入磁场，t=t₂时穿出磁场．金属棒刚进入磁场瞬间电流为0，穿出磁场前瞬间电流和金属棒在L₁上方运动时电流相等．（重力加速度取g，金属棒和导轨电阻不计）求：
（1）L₁、L₂之间的距离d；
（2）金属棒在L₁上方运动过程中电阻上产生的热量Q；
（3）金属棒在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）由题，金属棒刚进入磁场瞬间电流为0，回路中动生电动势和感生电动势大小相等、方向相反，完全抵消．由E=BLv，v=gt₁求出动生电动势，由法拉第电磁感应定律求出感生电动势，联立可求出d；
（2）根据法拉第电磁感应定律和焦耳定律结合求热量Q；
（3）根据公式E=Blv和I=

E

R

分别得出金属棒在L₁上方的电流和金属棒穿出磁场前瞬间的电流表达式，联立可求得棒穿出磁场时的速度．再由动能定理研究金属棒穿过磁场过程，列式求出棒克服安培力所做的功W．

解答：解：（1）进入磁场瞬间回路中动生电动势E₁=Blv，v=gt₁，B=kt₁，则得E₁=kLgt₁²．
                    感生电动势E₂=

△Φ

△t

=

△B

△t

S =Ldk      
∵回路电流为零，
∴动生电动势E₁与感生电动势E₂方向相反、大小相等，即得：kLgt₁² =Ldk
∴d =gt₁ ²            
（2）金属棒在L₁上方运动过程中电阻上产生的热量Q=

E 2 2

R

t1=

(Ldk)2

R

t1=

L2k2g2 t 5 1

R

（3）金属棒在L₁上方电流  I₁=

E2

R

=

Lkg t 2 1

R

金属棒穿出磁场前瞬间电流  I₂=

E1′

R

=

B2Lv2

R

=

kt2Lv2

R

∵I₁= I₂
∴v2=

g t 2 1

t2

金属棒穿过磁场过程中，由动能定理得：
   mgd-W=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

得W=mgd+

1

2

m(gt1)2-

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mg2

t

2 1

(3-

t 2 1

t 2 2

)
答：
（1）L₁、L₂之间的距离d是gt₁ ²；
（2）金属棒在L₁上方运动过程中电阻上产生的热量Q是

L2k2g2 t 5 1

R

；
（3）金属棒在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W是

1

2

mg2

t

2 1

(3-

t 2 1

t 2 2

)．

点评：该类题型综合考查电磁感应中的电路知识与法拉第电磁感应定律的应用，要求的解题的思路要规范，解题的能力要求较高．