Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在两板间加上如图乙所示的周期性变化的电压（不考虑极板边缘的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在2t₀时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（若tanθ=b，θ∈（-

π

2

，

π

2

），则θ=arctan b）
（1）求两极板间电压U₀的大小．
（2）求t₀=0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

Answer 1

分析：（1）首先求出电容器加有电压时的电场强度，从而求出有电场时的加速度，把粒子的运动在竖直方向上分为两段，先是匀加速运动，后是匀速运动，在竖直方向上，这两段位移的和大小上等于板间距离的一半．列式即可求出电压．
（2）当t₀=0时，粒子进入电场，根据已知条件求出离开电场时水平方向上的速度和竖直方向上的速度，即可求出和速度的大小，结合半径公式即可求出在匀强磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间最短，即为进入磁场时速度方向与y轴的夹角最小的情况，当在电场中偏转的角度最大时，在磁场中的运动时间最短，画出离子运动的轨迹图，结合几何知识即可求出最短时间．

解答：解：
（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，2t₀时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为

l

2

，则有：
E=

U0

l

…①
Eq=ma …②
 

l

2

=

1

2

a

t

2 0

+a

t

2 0

…③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为：U0=

l2m

3q t 2 0

 …④
（2）t₀=0时刻进入两极板的带电粒子，前t₀时间在电场中偏转，后t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为：v0=

l

2t0

…⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为：v_y=at₀…⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为：v=

v 2 x + v 2 y

…⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有：Bqv=m

v2

R

…⑧
联立③⑤⑥⑦⑧式解得：R=

40 13 ml

6qBt0

…⑨
（3）2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为：vy′=at0…⑩
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则：tanα=

v0

vy′

联立③⑤⑩式解得：α=arctan1.5
粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为：
2α=2arctan1.5
所求最短时间为：t=

2α

2π

T
带电粒子在磁场中运动的周期为：T=

2πm

qB

联立以上两式解得：tmin=

2marctan1.5

qB

（其实，在t₀到2t₀之间进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间相同，都是最短．）
答：（1）求两极板间电压U₀的大小为

l2m

3q t 2 0

．
（2）求t₀=0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为

40 13 ml

6qBt0

．
（3）在t₀到2t₀之间进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，最短时间为

2marctan1.5

qB

．

点评：该题考查到的知识点较多，首先是考察到了离子在匀强电场中的偏转，并且电场还是变化的，这就要求我们要有较强的过程分析能力，对物体的运动进行分段处理；还考察到了离子在匀强磁场中的偏转，要熟练的会用半径公式和周期公式解决问题；在解决粒子在有界磁场中的运动时间问题时，要注意偏转角度与运动时间的关系，熟练的运用几何知识解决问题．是一道难度较大的题．