Question

1．如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距为L，左端接有阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r的金属棒MN垂直放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中．当棒以速度v匀速运动时，加在棒上的水平拉力大小为F₁；若改变水平拉力的大小，让棒以初速度v做匀加速直线运动，当棒匀加速运动的位移为x时，速度达到3v．己知导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保待良好接触．
（1）求磁场的磁感应强度大小；
（2）在金属棒的速度由v变为3v的匀加速运动过程中，拉力对金属棒做的功为W_F，求这一过程回路产生的电热为多少？
（3）通过计算写出金属棒匀加速直线运动时所需外力F随时间t变化的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，应用安培力公式求出安培力，由平衡条件求出磁感应强度．
（2）由能量守恒定律可以求出回路产生的电热．
（3）应用匀变速运动规律与牛顿第二定律求出表达式．

解答 解：（1）感应电动势：E=BLv，
感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
金属棒受到的安培力：F_B=BIL，
金属棒匀速运动，由平衡条件得：F₁=F_B，
解得：B=$\sqrt{\frac{{F}_{1}（R+r）}{v{L}^{2}}}$；
（2）由能量守恒定律得：W_F+Q=$\frac{1}{2}$m（3v）²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：Q=W_F-4mv²；
（3）由匀变速直线运动的速度位移公式得：（3v）²-v²=2ax，
感应电动势：E=BL（v+at），
感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
安培力：F_B=BIL，
由牛顿第二定律得：F-F_B=ma，
解得：F=F₁+$\frac{4m{v}^{2}}{x}$+$\frac{4{F}_{1}v}{x}$t；
答：（1）磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{{F}_{1}（R+r）}{v{L}^{2}}}$；
（2）在金属棒的速度由v变为3v的匀加速运动过程中，拉力对金属棒做的功为W_F，这一过程回路产生的电热为：W_F-4mv²；
（3）通过计算写出金属棒匀加速直线运动时所需外力F随时间t变化的函数关系式为：F=F₁+$\frac{4m{v}^{2}}{x}$+$\frac{4{F}_{1}v}{x}$t．

点评 本题是一道电磁感应、电路与力学相结合的综合题，解决该题关键要分析物体的运动情况，清楚运动过程中不同形式的能量的转化，知道运用动能定理求解变力做功．