Question

半径为R的竖直放置的圆轨道与平直轨道相连，如图所示，质量为m的小球A以一定的初速度由直轨道向左运动，并沿轨道的内壁冲上去．如果A经过N点时的速度为v₀，A经过轨道最高点M时对轨道的压力太小等于小球的重力，重力加速度为g，求：
（1）小球落地点P与N之间的距离s：
（2）取N点为零势面，小球在M点的机械能E；
（3）小球从N到M这一段过程中摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析：（1）以小球为研究对象，小球经过M点时，由轨道的弹力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球的速度．小球离开M点后做平抛运动，由高度和初速度求出水平距离s．
（2）小球在M点的机械能E等于动能与重力势能之和，取N点为零势面，其重力势能为mg?2R．
（3）根据动能定理求解小球从N到M这一段过程中摩擦阻力做的功．

解答：解：（1）以小球为研究对象，根据牛顿第二定律得：
N+mg=m

v 2 M

R

由题：N=mg
解得：v_M=

2gR

小球离开M点后做平抛运动，则有：
竖直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：s=v_Mt
联立解得：s=2

2

R
（2）取N点为零势面，小球在M点的机械能为：E=E_k+E_P=

1

2

m

v

2 M

+mg?2R=3mgR
（3）小球从N到M过程，由动能定理得：

1

2

m

v

2 M

-

1

2

m

v

2 0

=Wf-2mgR
解得：Wf=3mgR-

1

2

m

v

2 0

答：
（1）小球落地点P与N之间的距离s为2

2

R：
（2）取N点为零势面，小球在M点的机械能E是3mgR；
（3）小球从N到M这一段过程中摩擦阻力做的功为3mgR-

1

2

m

v

2 0

．

点评：本题是圆周运动、平抛运动的综合，运用牛顿第二定律、动能定理和运动的分解进行研究，比较简单．