Question

2．如图所示，物块A、B、C的质量分别为M、3m、m，并均可视为质点，它们间有m＜M＜4m关系．三物块用轻绳通过滑轮连接，物块B与C间的距离和C到地面的距离均是L．若C与地面、B与C相碰后速度立即减为零，B与C相碰后粘合在一起．（设A距离滑轮足够远且不计一切阻力）．
（1）求物块C刚着地时的速度大小？
（2）若使物块B不与C相碰，则$\frac{M}{m}$应满足什么条件？
（3）若M=2m时，求物块A由最初位置上升的最大高度？
（4）若在（3）中物块A由最高位置下落，拉紧轻绳后继续下落，求物块A拉紧轻绳后下落的最远距离？

Answer 1

分析 （1）对系统由机械能守恒定律可以求出C落地时的速度；
（2）C落地后，根据AB两物体系统机械能守恒，求出B恰好落地的临界条件，再判断M与m的关系；
（3）当C着地后，A、B两物体系统机械能守恒，A上升L时，速度最大，结合系统机械能守恒求出物块A上升的最大速度；
（4）应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出下落的最远距离．

解答 解：（1）设C到达地面时三者速度大小为V₁，由机械能守恒定律得：
$4mgL-MgL=\frac{1}{2}（4m+M）{v_1}^2$，
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{2（4m-M）gL}{4m+M}}$；
（2）设此后B到达地面时速度恰好为零．
有：$3mgL-MgL=0-\frac{1}{2}（M+3m）v_1^2$，
解得：$M=2\sqrt{3}m$，因此应满足：$\frac{M}{m}$＞2$\sqrt{3}$时，物块B不能着地．
（3）若M=2m时，设C到达地面时三者速度大小为V₂，由机械能守恒定律得：
$4mgL-2mgL=\frac{1}{2}（4m+2m）{v_2}^2$，
再设AB运动到B到达地面时速度大小为v₃，有：
$3mgL-2mgL=\frac{1}{2}（3m+2m）{v_3}^2-\frac{1}{2}（3m+2m）{v_2}^2$，
此后A物块还能上升的高度为h，$2mgh=\frac{1}{2}2m{v_3}^2$
可得A物块上升的最大高度为：$H=2L+h=\frac{38}{15}L$
（4）物块A下落距离$h=\frac{8}{15}L$时，拉紧细线，
设此时物块A速度大小为v₄，有：$2mg\frac{8}{15}L=\frac{1}{2}2m{v_4}^2$，
此时由动量守恒定律得A、BC三者有大小相等的速度设为v₅，
以向下为正方向，由动量守恒定律得：2mv₄=（2m+4m）v₅
设A拉紧细线后下落的最远距离为s：$2mgs-4mgs=0-\frac{1}{2}（4m+2m）v_5^2$
由以上几式可得：$s=\frac{8}{45}L$；
答：（1）物块C刚着地时的速度大小为$\sqrt{\frac{2（4m-M）gL}{4m+M}}$；
（2）若使物块B不与C相碰，则$\frac{M}{m}$应满足的条件是：$\frac{M}{m}$＞2$\sqrt{3}$．
（3）若M=2m时，物块A由最初位置上升的最大高度为$\frac{38}{15}$L．
（4）若在（3）中物块A由最高位置下落，拉紧轻绳后继续下落，物块A拉紧轻绳后下落的最远距离为$\frac{8}{45}$L．

点评 本题时一道力学综合题，难度较大，解题时要分析清楚物体的运动过程，关键是要灵活地选择研究对象，虽然单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒．