Question

如图a所示，平行金属板A、B间的电压U_AB=200V，B板有一小孔O，靠近B板有一固定的绝缘圆筒，其横截面半径R=m，O′在圆筒轴线上，筒壁有小孔H，O′HO共线且连线与圆筒轴线、B板均垂直，交A板于P点．现有一比荷=100C/kg的带正电粒子，从A板上的P点附近由静止释放，在电场力作用下沿OO′方向射入圆筒．从粒子进入圆筒开始（计时零点），在圆筒内加入方向与轴线平行的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图b（垂直纸面向里为磁场正方向），粒子在磁场力作用下发生偏转并与筒壁碰撞．（粒子与筒壁碰撞前后动能和电量均不变，且不计重力，忽略碰撞所用时间及磁场变化产生的感应影响．）问：
（1）粒子第一次到达O点时的速率为多大？
（2）如果图b中的t₁时刻就是粒子进入圆筒后第一次碰撞到圆筒的时刻，t₁的值是多少？
（3）如果图b中的t₁和t₁+t₂时刻分别是粒子进入圆筒后第一次和第二次碰撞到圆筒的时刻，要使粒子能做周期性的往返运动，则金属板A和B间的距离d至少为多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）电场力对粒子做正功，可以求出粒子达到O的速度；
（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出运动的周期，再根据偏转角与周期的关系即可求出t；
（3）分别求出两种情况下的半径与周期，画出运动的轨迹图象，再根据题目的几何关系方向满足的条件．
解答：解：（1）两种从A到B的过程中，电场力做正功，根据动能定理得：

代人数据，解得：
v=200m/s
（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
得：

粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，
粒子转过的圆心角θ为120°
需要的时间：s
（3）在t₁～t₁+t₂的时间内，粒子运动的半径：
m
周期：s
由几何关系可知，
粒子转过的圆心角θ′为60°，需要的时间：
s
要使粒子做周期性的往返运动，粒子在AB板之间的运动时间至少是t₂
轨迹匀变速运动的规律有：
又：qE=ma


代人数据求得：d=25π×10^-2m=0.785m
点评：解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．该题对空间思维的能力要求比较高．