题目内容

17．用同种材料制成的质量均为M=1kg的形状不同的滑块n个静止在光滑水平面上，编号依次为1、2、3…．质量为m=0.1kg的子弹（视为质点）以水平初速度v0=200m/s依次击穿这些滑块后最终保留在第n个滑块中．要求子弹穿过每个滑块的时间都相等，子弹在两滑块间匀速运动的时间也相等且等于子弹穿过一块滑块的时间，这必然导致每个滑块长度不同，滑块间的间距也不同．子弹穿过滑块时受到的水平阻力f=150N并保持恒定．测得子弹穿过编号为1的滑块后滑块的速度变为v=1.5m/s．不考虑子弹在竖直方向上的受力和运动．（滑块不翻转，不计空气阻力）
（1）求n
（2）用计算说明子弹刚穿过第N（N＜n）块滑块时，第N-1块滑块没有追上第N块滑块
（3）易知第n块滑块与子弹相对静止后，第n-1块滑块会追上第n块滑块，然后发生碰撞，已知滑块间的碰撞为弹性碰撞，求滑块间碰撞的总次数（用字母A表示）．要求有必要的计算过程和文字说明．

分析 分析子弹击穿第一块滑块的过程，运用动量守恒定律求解．
第N块刚被击穿时是否被N-1块追上，取决于二者静止时的间距dN-1是否小于子弹刚接触N-1到刚击穿N的过程N-1比N多走的位移，分析子弹的运动过程，运用运动学公式求解比较．子弹打穿前13块后，1到13各块的速度均为v，根据系统动量守恒定律和机械能守恒列车等式求解．

解答 解：（1）子弹击穿第一块滑块的过程，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得
mv0=mv1+Mv
得v1=185m/s
由于子弹穿过每个滑块的时间相等、受到的阻力也相等，所以速度的减少量相等
△v=v0-v1=15m/s
n=v0/△v=40/3，取n=14
（2）第N块刚被击穿时是否被N-1块追上，取决于二者静止时的间距dN-1是否小于子弹刚接触N-1到刚击穿N的过程N-1比N多走的位移．
子弹穿过一块滑块的时间或在两滑块间匀速运动的时间t=$\frac{m△v}{f}$=0.01s
子弹击穿第N-1块的过程中第N-1块的位移：SN-1=$\frac{v}{2}$t=0.075m
子弹击穿N-1后匀速飞行的位移S′N-1=[v0-（N-1）△v]t=2-0.15（N-1）m
静止时N-1与N的距离dN-1=SN-1+S′N-1=2.075-0.15（N-1）m
当N=13时，dN-1取最小值是0.275m．
从子弹刚接触N-1到刚击穿N的过程N-1比N多走的位移，如图：

△S=vt=0.015m，
（dN-1）min＞△S，所以没有追上．
（3）子弹打穿前13块后，1到13各块的速度均为v，子弹与第14块相对静止时共同速度为v共＜v，13将追上14发生碰撞，对碰撞有
Mv+（M+m）v共=Mv′+（M+m）v′共
$\frac{1}{2}$Mv2+$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{共}^{2}$=$\frac{1}{2}$Mv′2+$\frac{1}{2}$（M+m）${v′}_{共}^{2}$

得v′=v共-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ①
v′共=v-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ②
因v′＜v所以12会追上13发生碰撞并交换速度，然后11与12、10与11…1与2碰撞并交换速度，这一轮碰撞会发生13次．这一轮碰撞完时，1的速度为v?，2到13的速度为v，14的速度为v?共．
由②知v?共＜v所以13会再次追上14发生碰撞．碰后14的速度大于v?共但小于v，13的速度由①知大于v?．然后12与13、11与12…2与3交换速度，2与3交换速度后2的速度大于v?，1的速度小于2的速度，所以这一轮碰撞1号块不参与，本轮碰撞共发生12次．
由以上分析知，碰撞一共会发生13轮，每轮碰撞的次数分别为13、12、11…1，所以总碰撞次数为
A=$\frac{（13+1）×13}{2}$=91次．
答：（1）n=14；
（2）（dN-1）min＞△S，所以没有追上；
（3）滑块间碰撞的总次数是91次．

点评 本题考查了求子弹、木块速度问题，分析清楚运动过程、正确选择研究对象与运动过程是解题的前提与关键，应用动量守恒定律即可正确解题；解题时要注意正方向的选择．

练习册系列答案
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