Question

18.一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上,狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪撬;其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇.狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V,则此时狗相对于地面的速度为V＋u（其中u为狗相对于雪橇的速度,V＋u为代数和,若以雪橇运动的方向为正方向,则V为正值,u为负值）.设狗总以速度v追赶和跳上雪橇,雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v的大小为5 m/s,u的大小为4 m/s, M＝30 kg, m＝10 kg.

（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小.

（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数.

（供使用但不一定用到的对数值:lg2＝0.301,lg3＝0.477）

Answer 1

18.参考解答：

（1）设雪橇运动的方向为正方向,狗第一次跳下雪橇后雪橇的速度为V₁,根据动量守恒定律,有MV₁＋m（V₁＋u）＝0

狗第一次跳上雪橇时,雪橇与狗的共同速度V₁′满足MV₁＋mv＝（M＋m）V₁′

可解得V₁′＝

将u＝－4 m/s,v＝5 m/s,M＝30 kg,m＝10 kg代入,得V₁′＝2 m/s.

（2）解法（一）:

设雪橇运动的方向为正方向.狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为

V _n－1,则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度V_n－1′满足

MV_n－1＋mv＝（M＋m）V_n－1′

这样,狗n次跳下雪橇后,雪橇的速度为V_n满足

MV_n＋m（V_n＋u）＝（M＋m）V_n－1′

解得V_n＝（v－u）［1－（）^n－1］－（）^n－1

狗追不上雪橇的条件是V_n≥v

可化为  （）^n－1≤

最后可求得n≥1＋

代入数据,得n≥3.41

狗最多能跳上雪橇3次

雪橇最终的速度大小为V₄＝5.625 m/s

解法（二）：

设雪橇运动的方向为正方向.狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_i，狗的速度为V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V′_i，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：MV₁＋m（V₁＋u）＝0

V₁＝－＝1 m/s

第一次跳上雪橇：MV₁＋mv＝（M＋m）V₁′

第二次跳下雪橇：（M＋m）V₁′＝MV₂＋m（V₂＋u）

V₂＝＝3 m/s

第二次跳上雪橇：MV₂＋mv＝（M＋m）V₂′

V₂′＝

第三次跳下雪橇：（M＋m）V₂′＝MV₃＋m（V₃＋u）

V₃＝＝4.5 m/s

第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃′＋m（V₃′+u）

V₃′＝

第四次跳下雪橇：（M＋m）V₃′＝MV₄＋m（V₄＋u）

V₄＝＝5.625 m/s

此时雪橇的速度大于狗追赶的速度,狗将不可能追上雪橇.因此,狗最多能跳上雪橇3次.雪橇最终的速度大小为5.625 m/s.