Question

A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r??1＜r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求：

（1）再经过多少时间两行星距离又最近？

（2）再经过多少时间两行星距离最远？

Answer 1

（1）

（2）

解析:

（1）A、B两行星如右图所示位置时距离最近，这时A、B与恒星在同一条圆半径上，A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角度大、周期短，如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。

解：（1）设A、B的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t。A、B距离最近的条件是：

ω1t-ω2t=。

恒星对行星的引力提供向心力，则：

，

由得得出：，，

求得：。

（2）如果经过时间，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，即

。

故。把ω1、ω2代入得：

点评：太阳系有九大行星，它们之间有相对运动，如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间，就要分析两运动间的角速度关系，本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件。