题目内容

V一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy．已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=
12h
x2，探险队员的质量为m．人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．
（1）求此人落到坡面时的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
分析：（1）由平抛运动规律列出等式．由整个过程中根据由动能定理求解
（2）根据动能的表达式应用数学方法求解．
解答：解：（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，
由平抛运动规律有：x=v0t，H=
1
2
gt2，
整个过程中，由动能定理可得：mgH=EK-
1
2
m
v
2
0

由几何关系，y=2h-H
坡面的抛物线方程y=
1
2h
x2
解以上各式得：EK=
1
2
m
v
2
0
+
2mg2h2
v
2
0
+gh

（2）由EK=
1
2
m
v
2
0
+
2mg2h2
v
2
0
+gh

令
v
2
0
=ngh，则EK=
n
2
mgh+
2mgh
n+1
=mgh（
n
2
+
2
n+1
）
当n=1时，即
v
2
0
=gh，
探险队员的动能最小，最小值为Emin=
3mgh
2

v0=
gh

答：（1）此人落到坡面时的动能是
1
2
m
v
2
0
+
2mg2h2
v
2
0
+gh
；
（2）此人水平跳出的速度为
gh
时，他落在坡面时的动能最小，动能的最小值为
3mgh
2
点评：本题主要考查平抛运动和动能定理的应用，以及函数最值的计算，意在考查考生的综合分析及数学计算能力．
练习册系列答案
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探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy．已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m．人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．求：人落到坡面时的动能．
一探险队在探险时遇到一山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧的坡面OB呈抛物线形状，与一平台BC相连，如图所示．已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底h高处，C点离竖直OA的水平距离为2h．以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y=x2/2h．质量为m的探险队员从山沟的竖直一侧，沿水平方向跳向平台．人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）若探险队员以速度v水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
（2）为了能跳在平台上，他的初速度应满足什么条件？请计算说明．
（3）若已知探险队员水平跳出，刚到达OBC面的动能Ek=1.55mgh，则他跳出时的水平速度可能为多大？

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