Question

7．如图所示为某车间传送装置的简化示意图，由水平传送带、粗糙斜面、轻质弹簧及力传感器组成．传送带通过一段光滑圆弧与斜面顶端相切，且保持v₀=4m/s的恒定速率运行，AB之间距离为L=8m，斜面倾角θ=37°，弹簧劲度系数k=200N/m，弹性势能E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，式中x为弹簧的形变量，弹簧处于自然状态时上端到斜面顶端的距离为d=3.2m．现将一质量为4kg的工件轻放在传送带A端，工件与传送带、斜面间的动摩擦因数均为0.5，不计其它阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）工件传到B端经历的时间；
（2）传感器的示数最大值；
（3）工件经多次缓冲后停在斜面上，传感器的示数为20N，工件在斜面上通过的总路程．（结果保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）工件轻放后向右先匀加速，如果能达到共速，接着工件向右匀速运动，分两段可计算时间．
（2）传感器的示数最大时就是弹簧的压缩量最大时，可以根据动能定理求解．
（3）工件经多次缓冲后停在斜面上，摩擦力一直做负功，可以根据动能定理或能量守恒计算总路程．

解答 解：（1）设工件轻放后向右的加速度为a，达共速时位移为x₁，时间为t₁，由牛顿第二定律：μmg=ma
可得：a=μg=5m/s²
 ${t_1}=\frac{v_0}{a}=\frac{4}{5}s=0.8$
${x_1}=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}×5×{0.8^2}m=1.6m$
接着工件向右匀速运动，设时间为t₂，
${t_2}=\frac{{L-{x_1}}}{v_0}=\frac{8-1.6}{4}s=1.6$
件传到B端经历的时间t=t₁+t₂=2.4s
（2）设传感器示数最大时弹簧的压缩量为△x₁由动能定理得：
 $mg（{d+△{x_1}}）sin{37^o}-μmg（{d+△{x_1}}）cos{37^o}-\frac{1}{2}k△{x_1}^2=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入数据得：△x₁=0.8m
传感器的示数最大值为：F_m=k•△x₁=160N
（3）设传感器示数为20N时弹簧的压缩量为△x₂，工件在斜面上通过的总路程为s，则：
 $△{x_2}=\frac{F_2}{k}=\frac{20}{200}m=0.1m$
由能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v_0}^2+mg（{d+△{x_2}}）sin{37^o}=μmgscos{37^o}+\frac{1}{2}k△{x_2}^2$
代入数据得：s=6.89m
 答：（1）工件传到B端经历的时间2.4s
（2）传感器的示数最大值160N
（3）工件经多次缓冲后停在斜面上，传感器的示数为20N，工件在斜面上通过的总路程6.89m

点评 传送带一类问题，往往涉及多个过程，应分析计算结合．注意弹簧弹性势能大小和型变量对应．