题目内容

8．如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图．直角坐标系原点O处有一电子发射装置，可以不断朝xOy平面内x≥0区域任意方向发射电子，电子的速率均为v0，已知电子的电荷量为e、质量为m．在0≤x≤d的区域内分布着沿x轴负方向的匀强电场，场强大小E=$\frac{3mv_0^2}{2ed}$，在x＞d区域内分布着足够大且垂直于xOy平面向外的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度B=$\frac{{4m{v_0}}}{ed}$，ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于y轴放置，电子打到板上后会在板上形成一条亮线．不计电子的重力和电子之间的相互作用．求：
（1）电子进入磁场时速度v的大小；
（2）当感光板沿x轴方向移到某一位置时恰好没有电子打到板上，求板ab到y轴的距离x1；
（3）保持（2）中感光板位置不动，改变磁感应强度的大小，使所有电子都能打到感光板上，试计算此时最小的磁感应强度B′的大小以及电子打到板上形成亮线的长度L．

分析 （1）电子在电场中运动时，电场力做功都相同，为eEd，根据动能定理求出电子离开电场时的速度大小，即得到电子进入磁场时速度的大小；
（2）电子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动．对于沿y轴负方向射出的电子进入磁场时，不能打到ab板上，则所有电子均不能打到ab板上．当此电子轨迹与ab板相切时，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何知识求出感光板到y轴的距离x1．
（3）沿y轴正方向射出的电子若能打到ab板上，则所有电子均能打到板上．此电子轨迹恰好与ab板相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度的大小．电子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式求出电场中沿y轴方向的位移，由几何关系求出电子打到板上形成亮线的长度．

解答 解：（1）电场力对电子做功，根据动能定理有：
$e•Ed=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$…①
解得：v=2v0 …②
（2）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴负方向射出的电子进入磁场后轨迹与ab板相切不能打到ab板上时，则所有电子均不能打到ab板上，作出其运动轨迹如图所示．
电子在电场中作类平抛运动，设该电子进入磁场时与竖直方向的夹角为θ，有：vcosθ=v0 …③
解得：cosθ=0.5 
电子在洛伦兹力作用下做圆周运动，设其运动半径为r，有：$evB=m\frac{v^2}{r}$…④
由图中几何关系：x1=r（1+cosθ）+d…⑤
联解②③④⑤得：${x_1}=\frac{7}{4}d$…⑥
（3）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴正方向射出的电子进入磁场后轨迹恰好与ab板相切，则所有电子均能打到板上，作出其运动轨迹如图所示．
由图中几何关系有：x1=d+r'（1-cosθ）…⑦
另有：$evB'=m\frac{v^2}{r'}$…⑧
联解②③⑥⑦⑧得：$B'=\frac{{4m{v_0}}}{3ed}$…⑨
沿y轴正、负方向发射的电子在电场中做类平抛运动，设沿y轴的偏转量为y1，则：$d=\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t^2}$…⑩
y1=v0t⑪
设沿y轴正方向发射的电子打到感光板上时在磁场中运动沿y轴的偏转量为y2，沿y轴负方向发射的电子打到感光板上时在磁场中运动沿y轴的偏转量为y3，由图中几何关系得：y2=r′sinθ…⑫
y3=r′（1-sinθ）…⑬
电子打到板上形成亮线的长度：L=2y1+y2+y3…⑭
联解⑩⑪⑫⑬⑭得：$L=（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+\frac{3}{2}）d$…⑮
答：（1）电子进入磁场时速度v的大小为2v0
（2）板ab到y轴的距离为$\frac{7}{4}d$；
（3）最小的磁感应强度B′的大小为$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$，电子打到板上形成亮线的长度L为$（\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}）d$．

点评 本题是电场中偏转和磁场中圆周运动的综合，关键是分析临界情况，当电子刚好不能打到ab板上时，其轨迹恰好与ab板相切，这是经常用到的临界条件，再由几何关系求出亮线的长度．

练习册系列答案
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（3）若杆①固定，t=0时，杆②从杆①右侧L处出发向右运动的过程中，保持闭合回路中磁通量不变使杆中一直无感应电流，则杆②多久后到达磁场边界？
（4）若磁感应强度保持B=B0不变，杆①固定．杆②以一定初速度、在水平拉力作用下从杆①右侧0.5m处出发向右运动，速度υ与两杆间距x之间关系满足图b．当外力做功4.5J时，两杆间距x为多少？（第4问中可用数据如下：B0=1T、R0=0.1Ω/m、L=0.5m、金属杆②质量m=0.5kg）
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