Question

已知飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求飞船在该圆轨道上运行时：
（1）速度v的大小和周期T．
（2）速度v与第一宇宙速度的比值．

Answer 1

分析：（1）飞船在圆轨道上运行时，飞船受到的万有引力充当向心力，由向心力公式可求得线速度及周期T；
（2）根据线速度表达式及第一宇宙速度表达式可求得比值．

解答：解：（1）由万有引力充当地球表面物体的重力可得：

GMm

R2

=mg
GM=gR²；
由万有引力公式可得：

GMm

(R+h)2

=m

4π2(R+h)

T2

则周期T=

4π2(R+h)3 GM

=

4π2(R+h)3 gR2

；
由

GMm

(R+h)2

=m

v2

R+h

得：
v=

GM R+h

=

gR2 R+h

；
即速度大小为

gR2 R+h

，周期为

4π2(R+h)3 gR2

；
（2）第一宇宙速度v₁=

GM R

=

gR2

；
故速度v与第一宇宙速度之比：

v

v1

=

gR2 R+h

gR2

=

1

R+h

；
即速度v与第一宇宙速度之比为

1

R+h

．

点评：理解第一宇宙速度及线速度、角速度、半径、周期之间的关系时，一定要紧扣万有引力公式；
注意分析题目中的已知题和未知题，灵活应用黄金代换式．