Question

如图所示的“S”字形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，将轨道固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从P点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量M=0.22kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=

21

m/s，小球从P点抛出后的水平射程；
（2）当v₀至少为多大时，小球在最高点时才能使轨道对地面的压力为零．

Answer 1

分析：（1）对小球从a点到P点的过程由动能定理可求得小球在P点的速度；小球以此速度做平抛运动，由平抛运动的规律可求得水平射程；
（2）要使轨道对地面没有压力，则此时物体对轨道应有向上的弹力，大小等于轨道的重力；即此时轨道与小球的重力充当向心力；则有牛顿运动定律可求得P点的速度；再由动能定理可求得v₀．

解答：解：（1）设小球运动到最高点P的速度为v，根据动能定理有：
-μmgL-4mgR=m

v2 -v 2 0

2

      ①
v²=v₀²-2μgL-8gR                 ②
小球离开P点后做平抛运动，
则x轴：x=vt　　　                   ③
y轴：4R=

gt2

2

                    ④
联立解得：x=0.8m
（2）小球在最高点P时，要使轨道对地面压力为零，则小球在最高点速度为v，以整体为研究对象：
根据牛顿第二定律得：（M+m）g=m

v2

R

     ⑤
又由动能定理可得：-μmgL-4mgR=m

v2- v 2 0

2

           ⑥
解得：v₀=6m/s
答：（1）小球从P点抛出后的射程为0.8m；（2）v₀至少为6m/s时，轨道对地面才没有压力．

点评：本题考查动能定理及平抛运动和向心力公式，在解题时应注意明确物理过程，针对不同的过程灵活选用动能定理或机械能守恒列式．