Question

（2011?淮安模拟）如图甲所示的控制电子运动装置由偏转电场、偏转磁场组成．偏转电场处在加有电压U、相距为d的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平宽度一定，竖直长度足够大，其紧靠偏转电场的右边．大量电子以相同初速度连续不断地沿两板正中间虚线的方向向右射入导体板之间．当两板间没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为2t₀；当两板间加上图乙所示的电压U时，所有电子均能通过电场、穿过磁场，最后打在竖直放置的荧光屏上．已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力及电子间的相互作用，电压U的最大值为U₀，磁场的磁感应强度大小为B、方向水平且垂直纸面向里．
（1）如果电子在t=t₀时刻进入两板间，求它离开偏转电场时竖直分位移的大小．
（2）要使电子在t=0时刻进入电场并能最终垂直打在荧光屏上，匀强磁场的水平宽度l为多少？
（3）证明：在满足（2）问磁场宽度l的条件下，所有电子自进入板间到最终打在荧光屏上的总时间相同．

Answer 1

分析：（1）电子在t=t₀时刻进入两板间，先做匀速运动，后做类平抛运动，运动时间为t₀，根据牛顿第二定律求出加速度，由y=

1

2

a

t

2 0

求出电子离开偏转电场时竖直分位移的大小．
（2）根据加速度和时间求出电子在电场中速度的偏向角θ．在磁场中最终垂直打在荧光屏上，则电子在磁场中的速度偏向角也θ，轨迹的圆心角为θ，由牛顿第二定律和几何关系求解匀强磁场的水平宽度．
（3）电子在电场中水平是匀速直线运动，在两板间运动的时间均为t₁=2t₀．电子在磁场中速度偏向角仍为θ，电子在磁场中运动时间为t₂=

θ

2π

T=

θm

qB

，得到总时间总是相同．

解答：解：（1）电子在t=t₀时刻进入两板间，先做匀速运动，后做类平抛运动，
        在2t₀～3t₀时间内发生偏转       a=

eE

m

=

eU0

md

   y=

1

2

a

t

2 0

=

eU0 t 2 0

2md

    （2）设电子从电场中射出的偏向角为θ，速度为v，则sinθ=

vy

v

=

eU0t0

mdv

     电子通过匀强磁场并能垂直打在荧光屏上，其圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律 
         有evB=m

v2

R

         由几何关系得   sinθ=

l

R

         得 水平宽度l=

U0t0

Bd

     （3）证明：无论何时进入两板间的电子，在两板间运动的时间均为t₁=2t₀
      射出电场时的竖直分速度v_y均相同，vy=at0=

eU0t0

md

      射出电场时速度方向与初速v₀方向的夹角θ均相同，满足tanθ=

vy

v0

=

eU0t0

mv0d

       因进入偏转磁场时电子速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

相同，方向平行，所以电子在磁场中的轨道半径相同，都垂直打在荧光屏上                                     
       根据几何关系，电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角必为θ，
       则在磁场中运动时间t2=

θ

2π

T=

mθ

eB

故电子运动的总时间t=t1+t2=2t0+

mθ

eB

，即总时间相同．

点评：本题电子先电场中运动，后在磁场中运动的问题，电场中研究是运动的合成与分解，运用牛顿定律和运动公式分析求解．电子在磁场中运动的问题关键是画轨迹，定圆心角．