Question

一个质量为m₁=1kg长为L=65m的木板在光滑的地面上以速度v₁=2m/s向右滑行，一个质量为m₂=2kg的小木块（可视为质点）向左以速度v₂=14m/s从木板的右端滑上，木块和木板的摩擦系数是μ=0.1，滑行一段时间后木块和木板达到共同速度，然后木板碰撞光滑半圆弧，碰后木板停止运动，木块最终无能量损失地滑上圆弧．求：
（1）木板从开始到向右运动到最远点过程中系统产热量．
（2）木板从开始到和木块达到共同速度的过程中系统产热量．
（3）若木块滑上圆弧的过程中不脱离圆弧，求圆弧半径r范围．

Answer 1

分析：（1）木板从开始到向右运动到最远点过程中，此时木板的速度为零，根据系统的动量守恒求出此时小木块的速度．再根据系统的能量守恒列式求解此过程中产生的热量．
（2）根据系统的动量守恒求出共同速度，再运用能量守恒列式求解此过程中产生的热量．
（3）木块滑上圆弧的过程中不脱离圆弧，有两种可能：一种：木块恰能上升到圆弧最高点，由重力提供向心力；另一种：木块恰能上升到圆弧最左点．根据牛顿第二定律和机械能守恒列式求解．

解答：解：（1）木板向右运动到最远点时速度为0，系统动量守恒（向左为正）：
  m₂v₂-m₁v₁=m₂ v₃，
解得：v₃=13m/s
系统能量守恒：

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

m₂v₃²+Q₁，
解得：Q₁=29J
（2）从开始到木块和木板达到共同速度过程中，
动量守恒：m₂v₂-m₁v₁=（m₁+m₂）v_共，
解得：v_共=8m/s
系统能量守恒：

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

（m₁+m₂）v_共²+Q₂，
解得：Q₂=102J
（3）Q₂=μm₂gs，
解得：s=51m．
从木板碰撞圆弧后到木块刚滑上圆弧，系统能量守恒：

1

2

m₂v_共²=

1

2

m₂v₄²+μm₂g（L-s），
得：v₄=6m/s
情况一：木块恰能上升到圆弧最高点
  m₂g=

m2v2

r1

 

1

2

m2v42=

1

2

m2v2+2m2gr1，
解得：r₁=0.72m
情况二：木块恰能上升到圆弧最左点

1

2

m2v42=m2gr2，
解得：r₂=1.8m
综上所述，半径的取值范围是r≤0.72m，或r≥1.8m．
答：
（1）木板从开始到向右运动到最远点过程中系统产热量是29J．
（2）木板从开始到和木块达到共同速度的过程中系统产热量是102J．
（3）若木块滑上圆弧的过程中不脱离圆弧，圆弧半径r范围是r≤0.72m，或r≥1.8m．

点评：分析清楚木块与木板的运动过程、两者间的位移关系是正确解题的前提，关键要知道木块滑上圆弧的过程中不脱离圆弧有两种可能情况．