Question

6．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R远大于$\widehat{AB}$的弧长．甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：
（1）两球第1次到达C点的时间之比．
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）甲球做自由落体运动，乙球近似看做单摆，根据各自的规律即可求得时间的比值；
（2）若使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，要考虑到乙运动的周期性，然后列出等式即可

解答 解：（1）甲球做自由落体运动R=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$
所以：t₁=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$乙球沿圆弧做简谐运动（由于B→C?R，可认为摆角θ＜5°）．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为：
t₂=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以t₁：t₂=$\frac{2\sqrt{2}}{π}$
（2）甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间为t_甲=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为
t_乙=$\frac{T}{4}$+$\frac{T}{4}n$=$\frac{2n+1}{2}π\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…

由于甲、乙在C点相遇，故t_甲=t_乙
解得h=$\frac{（2n+1）^{2}}{8}$π²R    n=0，1，2，…

答：（1）两球第1次到达C点的时间之比是 $\frac{2\sqrt{2}}{π}$        
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度$\frac{（2n+1）^{2}}{8}$π²R n=0，1，2，…

点评 该题的第二问看似是第一问的重复，而实际上要考虑到乙运动的周期性，写出乙到达最低点的时刻的通式是解题的关键．