题目内容

3．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳栓一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小随时间t的变化规律如图乙所示，F1=7F2，设R、m、引力常量G、F1、F2均为已知量，忽略各种阻力，以下说法中不正确得是（　　）
A．小球在最高点的最小速度为零
B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{R{F_2}}}{m}}$
C．该星球表面的重力加速度为$\frac{F_1}{7m}$
D．星球的质量为$\frac{{{F_2}{R^2}}}{Gm}$

分析 （1）对小球受力分析，在最高点和最低点时，由向心力的公式和整个过程的机械能守恒可以求得重力加速度的大小；
（2）根据万有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面时，万有引力和重力近似相等，可以求得星球的质量；
（4）对小球在最高点运用牛顿第二定律分析求解问题．

解答 解：A、小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律得：
F2+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg
所以小球在最高点的最小速v2≥$\sqrt{gR}$．故A错误；
B、设小球在最低点时细线的拉力为F1，速度为v1，则
F1-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$  ①
设小球在最高点细线的拉力为F2，速度为v2，则
F2+mg=m $\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$  ②
由机械能守恒定律得：
mg（2r）+$\frac{1}{2}$mv22=$\frac{1}{2}$mv12 ③
由①、②、③解得
g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$  ④
又：F1=7F2，
所以该星球表面的重力加速度为g=$\frac{{F}_{1}}{7m}$=$\frac{{F}_{2}}{m}$，
根据万有引力提供向心力得：m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
卫星绕该星球的第一宇宙速度为v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{R{F}_{1}}{7m}}$=$\sqrt{\frac{R{F}_{2}}{m}}$，故B、C正确．
D、在星球表面，万有引力近似等于重力G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g ⑤
由④、⑤解得 M=$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$=$\frac{{F}_{2}{R}^{2}}{Gm}$，故D正确．
本题选不正确的，故选：A．

点评 根据小球做圆周运动时在最高点和最低点的运动规律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，知道在星球表面时，万有引力和重力近似相等，而贴着星球的表面做圆周运动时，物体的重力就作为做圆周运动的向心力．

练习册系列答案
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