Question

如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F₁；当从M中挖去一半径为r=

1

2

R的球体时，剩下部分对m的万有引力为F₂．则F₁与F₂之比是多少？

Answer 1

分析：根据万有引力定律求出M对m的万有引力，当从M中挖去一半径为r=

1

2

R的球体时，剩下部分对m的万有引力等于原来的万有引力减去被挖去的球体对m的万有引力．

解答：解：质点与大球球心相距2R，其万有引力为F₁，则F₁=G

Mm

(2R)2

=

1

4

G

Mm

R2

大球质量M=ρ×

4

3

πR ³，挖去的小球质量M′=ρ×

4

3

π（

R

2

）³，
即M′=

1

8

ρ×

4

3

πR³=

M

8

小球球心与质点间相距

3

2

R，小球与质点间的万有引力为：
F₁′=G

M′m

( 3 2 R)2

=

1

18

G

Mm

R2

则剩余部分对质点m的万有引力为：
F₂=F₁-F₁′=

1

4

G

Mm

R2

-

1

18

G

Mm

R2

=

7

36

G

Mm

R2

 
故 

F1

F2

=

9

7

．
答：F₁与F₂之比是9：7．

点评：本题主要考查了万有引力定律得直接应用，注意球体对质点的距离为球心到质点的距离，难度不大，属于基础题．