Question

如图所示，倾角为θ=45°的光滑斜轨与半径为R的光滑半圆环相切，切点为B.一质量为m的小球从斜轨上高为h=2R的A处无初速下滑进入圆环轨道.

（1）小球将能到达圆环轨道上多高的地方？小球脱离圆环轨道时的速度多大？

（2）若小球从斜轨上高为h=5R/2处滑下，进入圆环轨道，接着小球从圆环最高点C水平飞出，又落到斜轨上.在小球击中斜轨前的瞬间，小球的速度多大？

Answer 1

解：（1）小球脱离圆环时，对圆环的压力为零.设小球的速度为v，DO和CO间的角度为α.

mgcosα=m                                                           

以最低点为重力势能的零点mg2R=mgR(1+cosα)+mv²                       

cosα=

小球能到达的高度为h=R(1+cosα)=R.                                       

（2）小球从A到C，机械能守恒，有mv_C²+mg·2R=mgh=mg·R

解得v_C=

如图建立坐标系，设小球落在斜轨上的坐标是P（x,y）

小球的轨迹方程为y=                                                   ①

AB斜轨的方程为y=-xtan45°+(+1)R                                          ②

将v_C=代入①，得y=                                             ③

y=-x+(+1)R                                                           ④

解③④得x=R,y=R(另一组解不适合，舍去)                                

从C到落点，机械能守恒，

mv_c²+mgy=mv²,解得v=.