Question

8．如图所示，足够长的光滑平行间距为L=1m金属导轨PQ、MN，水平放置在竖直向上磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中．质量为m=0.5kg、长度为lm金属棒ab垂直金属导轨放置且与导轨接触良好．MP间所接电阻的阻值R=0.50Ω，其余电阻均不计．ab在外力F的作用下由静止开始做加速度a=2m/s²的匀加速直线运动，5s末撤去外力F．试求：
（1）前5s内外力F与时间t的关系式；
（2）撤去外力瞬间金属棒ab的加速度；
（3）撤去外力后，金属棒ab还能滑行的距离．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F_安=BIL得到安培力与速度的关系式．速度与时间的关系是v=at．再由牛顿第二定律推导F与t的关系即可．
（2）先求出撤去F时棒的速度，再由牛顿第二定律求加速度．
（3）撤去外力后，根据牛顿第二定律得到瞬时加速度表达式，由加速度的定义式得到速度变化量，再求和可求解．

解答 解：（1）根据题意有：E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F_安=BIL，
得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
又 v=at
根据牛顿第二定律有：F-F_安=ma
联立得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}$t+ma
代入解得：F=t+1（N）（0≤t≤5s）
（2）设运动方向为正方向，由运动学知识知：撤去F时棒的速度为：v₁=at₁=10m/s
由牛顿第二定律得：-F_安=ma
即：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=ma₁；
解得：a₁=-10m/s²；
所以此时金属棒的加速度大小为10m/s²，方向与运动方向相反．
（3）撤去外力后，任意瞬时，由牛顿第二定律得：
-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{i}}{R}$=ma_i=m$\frac{△{v}_{i}}{△t}$
即有：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{i}△t）}{R}$=m△v_i
累加得：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x′}{R}$=m（0-v₁）
解之得：x′=$\frac{m{v}_{1}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=10m
答：（1）前5s内外力F与时间t的关系式是F=t+1（N）（0≤t≤5s）；
（2）撤去外力瞬间金属棒ab的加速度大小为10m/s²，方向与运动方向相反；
（3）撤去外力后，金属棒ab还能滑行的10m距离．

点评 解决本题的关键：一、要熟练推导出安培力与速度的关系式．二、能运用微元法求解变减速运动的位移，其切入点是牛顿第二定律和加速度的定义式．