Question

13．把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：
（1）棒上电流的大小和方向及棒两端的电压U_MN；
（2）圆环消耗的热功率和在圆环及金属棒上消耗的总热功率．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流大小与棒两端电压，由右手定则可以判断出电流方向．
（2）由圆环和金属棒上的总热功率P=EI可以求出总电功率，根据电路特点求圆环的热功率．

解答 解：（1）导体棒运动产生电流，它相当于电源，内阻为R，导体棒切割磁感线产生电动势：
E=Blv=2Bav…①，
画出等效电路图如图所示，根据右手定则，金属棒中电流从N流向M，所以M相当于电源的正极，N相当于电源的负极．外电路总电阻为：
R_外=R_外=$\frac{R•R}{R+R}$=$\frac{1}{2}$R…②，
根据闭合电路欧姆定律，棒上电流大小为：
I=$\frac{E}{{R}_{外}+R}$=$\frac{2Bav}{R+\frac{1}{2}R}$=$\frac{4Bav}{3R}$…③，
棒两端电压是路端电压为：U_MN=$\frac{{R}_{外}}{{R}_{外}+R}$•E…④
将数据代入④式解得：U_MN=$\frac{2}{3}$Bav…⑤；
（2）圆环和金属棒上的总热功率为：P=EI…⑥，
由①⑥式解得：P=$\frac{8{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{3R}$…⑦；
圆环消耗的热功率为：p′=$\frac{{R}_{外}}{{R}_{外}+R}$•P=$\frac{1}{3}$$\frac{8{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{3R}$．
答：（1）棒上电流的大小为 $\frac{4Bav}{3R}$，方向：从N流向M，棒两端的电压U_MN=$\frac{2}{3}$Bav；
（2）圆环消耗的热功率$\frac{1}{3}$•$\frac{8{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{3R}$；在圆环和金属棒上消耗的总热功率为$\frac{8（Bav）2}{3R}$．

点评 本题是电磁感应与电学相结合的综合题，应用E=BLv、右手定则、欧姆定律、电功率公式解题，注意画出等效电路，理清电路的串并联关系．