Question

五块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上，每块木板的长度为0.4 m，质量为0.6 kg。在第一块长木板的最左端放置一质量为0.98 kg的小物块。已知小物块与长木板间的动摩擦因数为0.2，长木板与地面间的动摩擦因数为0.1，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。一颗质量为0.02 kg的子弹以150 m/s的水平速度击中小物块并立即与小物块一起在长木板表面滑行，重力加速度g取10 m/s²。

（1）分析小物块滑至哪块长木板时，长木板才开始在地面上滑动。

（2）求物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离。

Answer 1

解：（1）设子弹、小物块、长木板的质量分别为m₀、M、m，子弹的初速度为v₀，子弹击中小物块后二者的共同速度为v₁，由动量守恒定律

m₀ v₀=(M+ m₀) v₁①

子弹击中小物块后物块的质量为M′，且M′=M+ m₀．设当物块滑至第n块木板时，木板才开始运动μ₁M′g＞μ₂〔M′+(6-n+1)m〕g

②其中μ₁、μ₂分别表示物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数。

由②式解得n＞5.3

即物块滑上第六块木板时，木板才开始在地面上滑动。

（2）设物块刚滑上第六块木板时的速度为v₂，每块木板的长度为L，由动能定理

－μ₁ M′g×5L=M′v₂²－M′v₁²③

由①③式解得v₂=1 m/s④

物块在第六块木板表面做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，假设物块不能滑下第六块木板，且经历时间t后，物块与木板能获得相同的速度v₃，由动量定理

－μ₁ M′gt=M′v₃－M′v₂⑤

［μ₁ M′g－μ₂(M′+m)g］t=m v₃⑥

由⑤⑥式解得v₃=0.25 m/s⑦

在此过程中，物块发生的位移为s₁，由动能定理

－μ₁ M′g s₁=M′v₃²－M′v₂²⑧

解得s₁=m＜0.4 m

即假设成立，物块与木板获得0.25 m/s的共同速度，之后共同向前匀减速运动s₂后静止。

由动能定理

－μ₂ （M′+m）g s₂=－ (M′+m)v₃²⑨

解得s₂=m

所以物块总共发生的位移s=5L+s₁+s₂

解得s≈2.27 m。