Question

17．如图所示，质量为m₃的物块静置于光滑水平面上，其上又静止放置了一质量为m₂的小物块，小物块与下面物块间的摩擦因数为μ，小物块上还水平固定一劲度系数为k的轻弹簧．质量为m₁的物块向右运动，与弹簧发生弹性碰撞并压缩弹簧，压缩过程中弹簧始终保持水平．为了使小物块m₂与下面物块m₃间有相对滑动，则物块m₁向右运动的速度大小至少应该为$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$．

Answer 1

分析 压缩弹簧的弹力比较小时，小物块m₂与下面物块m₃间没有相对滑动，弹簧的弹力提供二者的加速度；而二者之间的摩擦力提供m₃的加速度，联立牛顿第二定律即可求出二者恰好要相对滑动时的加速度；三个物体组成的系统在水平方向的动量守恒，当它们的速度相等时，弹簧最短，对两侧物体的弹力最大，由动量守恒定律即可求出共同速度；最后结合机械能守恒即可求出．

解答 解：二者恰好要相对滑动时小物块m₂与下面物块m₃之间的摩擦力提供m₃的加速度，则：m₃a=μm₂g
所以：a=$\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{3}}$
对小物块m₂与下面物块m₃组成的系统：F=（m₂+m₃）a
设m₁的初速度为v₀，三个物体组成的系统速度相等时共同速度为v，弹簧的压缩量为x，弹簧的弹力为F，则：F=kx
三个物体组成的系统在水平方向的动量守恒，当它们的速度相等时，弹簧最短，对两侧物体的弹力最大，小球初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）v
该过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}）{v}^{2}$$+\frac{1}{2}k{x}^{2}$
联立解得：v₀=$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$
即：为了使小物块m₂与下面物块m₃间有相对滑动，则物块m₁向右运动的速度大小至少应该为$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$．
故答案为：$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$

点评 该题考查动量守恒与机械能守恒的应用，解得的关键是得出使小物块m₂与下面物块m₃间有相对滑动的条件是它们的速度相等时，弹簧最短时小物块m₂与下面物块m₃间恰好要滑动．