Question

（2009?湖北模拟）图示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R₀，周期为T₀
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现A行星每隔t₀时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许，天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的圆轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同）．根据上述现象和假设，试估箅未知行星B的运动周期和轨道半径．

Answer 1

分析：（1）研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；
（2）先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答：解：（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，
由万有引力提供向心力得：G

Mm

R 2 0

=m

4π2

T 2 0

R0
解得：M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

故中央恒星O的质量为

4π2 R 3 0

G T 2 0

．
（2）由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，则有：
(

2π

T0

-

2π

T

)t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

据开普勒第三定律：

R3

R 3 0

=

T2

T 2 0

得：R=

3	( t0 t0-T0 )2

R₀
故未知行星B的运动周期为

t0T0

t0-T0

，轨道半径为

3	( t0 t0-T0 )2

R₀．

点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．