Question

质量M=1 000kg的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R=20m．试求：
（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为自身车重一半时，汽车的速率
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率．（重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）在拱形桥最高点，根据重力和桥面的支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，靠重力提供向心力，再根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．

解答：解：（1）汽车在在最高点时，竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
   Mg-N=M

v2

R

由题意有 N=0.5Mg
联立得 0.5Mg=M

v2

R

代入数据得：v=

0.5gR

=

0.5×10×20

m/s=10m/s
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车在竖直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：
  Mg=M

v 2 0

R

代入数据得：v₀=

gR

=

10×20

m/s=14.1 m/s
答：（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为自身车重一半时，汽车的速率是10m/s．（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率是14.1 m/s．

点评：解决本题的关键知道汽车过拱桥，在最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力为0，由重力提供向心力．