Question

如图1所示，相距为L的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为α，导轨一部分处在垂直导轨平面的匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁感应强度为B，导轨右端接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计．在距OO′为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆ab．
（1）若ab杆在平行于斜面的恒力作用下由静止开始沿斜面向上运动，其速度平方一位移关系图象如图2所示，图中v₁和v₂为已知．则在发生3L位移的过程中，电阻R上产生的电热Q₁是多少？
（2）ab杆在离开磁场前瞬间的加速度是多少？
（3）若磁感应强度B=B₀+kt（k为大于0的常数），要使金属杆ab始终静止在导轨上的初始位置，试分析求出施加在ab杆的平行于斜面的外力．

Answer 1

（1）物体的位移为3L，在0--L段，恒力F、重力mg及安培力F_安对物体做功，安培力的功等于电阻上产生的电热Q₁，
由动能定理：F L-mg L sinα+W_安=

1

2

mv₁²                      
而：W_安=-Q₁                                             
在L--3L段，由动能定理得：
（F-mgsinα）2L=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²                              
解得：Q₁=

1

4

m（v₂²-3v₁²）                                     
（2）ab杆在离开磁场前瞬间，沿轨道方向受重力分力mg sinα、安培力F_安和恒力F作用．
F_安=

B2L2v1

R

a=

F-mgsinα-F安

m

解得：a=

v 22 - v 21

4L

-

B2L2v1

mR

（3）当磁场按B=B₀+kt规律变化时，由于ab静止在导轨上的初始位置，
所以感应电动势为：E=

△Φ

△t

=kL²，
安培力为：F_安=BIL=

(B0+kt)kL3

R

由平衡条件得：F-mgsinα+F_安=0
解得：F=mgsinα-

(B0+kt)kL3

R

①若mgsinα≤

kL3

R

B0时，F的方向沿斜面向下．                    
②若mgsinα＞

kL3

R

B0时，F的方向先沿斜面向上；                   
当经过t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

时，F的方向又将变为沿斜面向下．  
答：（1）在发生3L位移的过程中，电阻R上产生的电热Q₁是=

1

4

m（v₂²-3v₁²）    
（2）ab杆在离开磁场前瞬间的加速度是

v 22 - v 21

4L

-

B2L2v1

mR

（3）若mgsinα≤

kL3

R

B0时，F的方向沿斜面向下，若mgsinα＞

kL3

R

B0时，F的方向先沿斜面向上；                
当经过t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

时，F的方向又将变为沿斜面向下．