Question

一根长约l的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处在水平位置.杆上距O为a处放有一小物体B（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态，如图5-9所示.若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？

图5-9

Answer 1

解析：杆开始转动后,两物体的运动状态分别为：A做匀速运转,B做自由落体运动.若B能与杆相碰,只可能在B下落的竖直线上.那么,杆转动的高度范围就被确定,为如上图所示的φ角区域.

我们分两种情况进行讨论：

（1）当杆的转速ω较小时,物体B有可能追上细杆而与细杆相碰.设物体B下落到C的时间为t₁,杆转过φ角所用时间为t₂,两物要能相碰,t₁和t₂就满足下列条件：t₁≤t₂              ①

    又因为  φ=ωt₂由几何关系,lcosφ=a,所以，解之得：

    由φ=ωt₂=arccos解得，将t₁、t₂代入①式,得

    解得.

（2）当杆的转速ω较大时,杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰,设杆转过φ角所用的时间为t₂′,杆要与B相碰,t₂′和t₁必须满足下列条件：t₂′≤t₁             ②

    由2π+φ=ωt₂′

    所以代入②式得解之得

    由以上分析可知,当杆转动的角速度满足：

    或时,物体B均有可能和细杆相碰.

答案：或