Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，BC间光滑，由静止释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）物体在BD间运动的初速度和加速度；
（2）BP间的水平距离；
（3）判断m能否沿圆轨道到达M点，为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度．进而根据位移-速度公式求出位移；
（2）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据竖直方向上做自由落体运动求出竖直分速度，再根据角度关系求出水平分速度，即离开D点时的速度v_D．
（3）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
解答：解：（1）根据物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，有：
在桌面上过B点后初速v=6m/s，加速度a=-4m/s²，负号代表方向与速度方向相反．
（2）设物块由D点以v_D做平抛，
落到P点时其竖直速度为v_y= 
根据几何关系有：=tan45°
解得v_D=4m/s
平抛运动的时间t==0.4s
所以DP间的水平距离x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
BD间位移为 sBD==2.5m
BP间的水平距离x=2.5+1.6=4.1m
（3）设物块到达M点的临界速度为v_m，有：
mg=m
v_M==2m/s
由机械能守恒定律得：mv′2=mvD2-mgR 
解得：v′=m/s
因为＜2
所以物块不能到达M点．
答：（1）物体在BD间运动的初速度是6m/s和加速度大小是4m/s²，方向与速度方向相反．
（2）BP间的水平距离是4.1m；
（3）m不能否沿圆轨道到达M点．
点评：该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．