Question

（2013?宁波二模）如图所示，PQ是两块平行金属板，上极板接电源正极，两极板之间的电压为U=1.2×10⁴V，一群带负电粒子不停的通过P极板的小孔以速度v₀=2.0×10⁴m/s垂直金属板飞入，通过Q极板上的小孔后，垂直AC边的中点O进入边界为等腰直角三角形的匀强磁场中，磁感应强度为B=1.0T，边界AC的长度为a=1.6m，粒子比荷

q

m

=5×104Ckg粒子的重力．求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小是多少？
（2）粒子在磁场中运动的时间？打在什么位置？
（3）若在两极板间加一正弦交变电压U=9.6×10⁴sin314t（V），则这群粒子可能从磁场边界的哪些区域飞出？并求出这些区域．（每个粒子在电场中运动时，可认为电压是不变的）

Answer 1

分析：1、粒子从P极板进入电场后，做加速运动，根据动能定理qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02，代入数据计算可得粒子进入磁场时的速度大小．
2、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力qvB=m

v2

R

，解得R=

mv

qB

=0.8m，故垂直地打在BC边的中点．解出粒子在磁场中运动的周期为T，转角为90°，所以粒子在磁场中运动的时间t=

1

4

T．
3、当粒子以反向最大电压进入电场时，粒子不能穿过Q点进入磁场．t=0时刻射入的粒子，没有经过加速，粒子将以v₀=2.0×10⁴m/s从O点射入磁场，此时半径最小，求出最小半径，判断粒子打在哪儿．当粒子以正向最大电压加速进入电场中，根据动能定理求出最大速度，从而计算出最大半径，在作出粒子的运动轨迹，根据几何关系计算粒子打在哪儿．

解答：解：（1）粒子从P极板进入电场后，做加速运动，有：
qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
v=4×10⁴m/s
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=m

v2

R

故R=

mv

qB

=0.8m
所以垂直地打在BC边的中点．    
粒子在磁场中运动的周期为
T=

2πR

v

=

2πm

qB

=

2π

5

×10-4s
偏转角为90°，
所以粒子在磁场中运动的时间为t=

1

4

T=

π

10

×10-4s=π×10-5s
（3）当粒子以反向最大电压进入电场时，粒子不能穿过Q点进入磁场．
t=0时刻射入的粒子，没有经过加速，粒子将以v₀=2.0×10⁴m/s从O点射入磁场，
Rmin=

mv0

qB

=0.4m．恰好打到C点  
因此OC边可以全部打到．
当粒子以正向最大电压加速进入电场中，根据动能定理：
qUm=

1

2

mvm2-

1

2

mv02
最大速度vm=105m/s
Rmax=

mvm

qB

=2m
若粒子与AB边相切飞出，如图所示，根据几何关系可得：
BF+FC=a，
R_切=PF+FO₁，可得：
R切=0.8×(

2

+1)m＜Rmin
由以上三个半径关系可知，粒子从BC 和AB边飞出．
若恰好与AB相切的粒子打在BC边E，离C点的距离为：0.8

2 2 +1

m
在EC之间均有粒子飞出
与AB边相切的切点P到B点的距离为：0.8(

2

-1)m 
当粒子以最大速度进入磁场时，粒子将从AB边界的G点飞出，设OD之间的距离为x，则：
GD=AD=x+

a

2

，
DO₂=R_max-x，
根据几何关系可得：(

a

2

+x)+(Rmax-x)2=Rmax2
可得x=0.4m
最大速度粒子从AB边上射出点G到B点的距离为：0.4

2

m
在GP之间均有粒子飞出．
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小是4×10⁴m/s．（2）粒子在磁场中运动的时间为π×10^-5s，垂直地打在BC边的中点．（3）分析过程如上所述．

点评：本题的关键是要能分析清楚粒子的运动情况，能够熟练的根据洛伦兹力提供向心力和几何关系求解，作图对于解决带电粒子在磁场中的运动是非常重要的方法．