Question

如图所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度B₁=0.40T，方向垂直纸面向里，电场强度E=2.0×10⁵V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B₂=0.25T，磁场边界AO和y轴的夹角∠AOy=45°．一束带电量q=8.0×10^-19C的同位素正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0，0.2m）的Q点垂直y轴射入磁场区，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在45°～90°之间，不计离子重力，求：
（1）离子运动的速度为多大？
（2）x轴上被离子打中的区间范围？
（3）离子从Q运动到x轴的最长时间？
（4）若只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B₂′应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）同位素正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，说明所受电场力和洛伦兹力相等，即可求得速度；
（2）粒子进入磁场后做圆周运动，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在45°～90°之间，分别根据几何关系求出45°和90°两个临界状态的半径，进而求出OM和ON的长度，即可求得离子到达x轴的区间范围；
（3）所有离子速速都相同，当离子运动路程最长时，时间也最长，由图知当r=0.2m时离子运动时间最长，这段时间分为两段，一段为匀速圆周运动的一部分，另一段为匀速直线运动．
（4）由qvB =

mv2

r

可知当r=0.2m时，同位素离子质量最大，带入即可求出最大质量，若质量最大的离子不能穿过直线OA，则所有离子必都不能到达x轴，由图求出使离子不能打到x轴上的最大半径，设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B₀，根据qvB0=

mv2

r

求出B₀，B₂′≥B₀．

解答：解：（1）：离子在两板间时有：qE=qvB₁
  解得：v=5.0×10⁵m/s   
（2）当通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角为45°时，
到达x轴上的M点，如图所示，则：
r₁=0.2m     所以：OM=

2

r1=0.2

2

m 
当通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角为90°时，
到达x轴上的N点，则：
r₂=0.1m      所以：ON=r₂=0.1m  
所以离子到达x轴的区间范围是0.1m≤x≤0.2

2

m；   
（3）所有离子速速都相同，当离子运动路程最长时，时间也最长，由图知当r=r₁时离子运动时间最长，
则：t_m=

πr1

4v

+

r1

v

=7.14×10^-7 s   
（4）由牛顿第二定律有：qvB2=

mv2

r

  则：m=

qrB2

v

   
当r=r₁时，同位素离子质量最大：m1=

qrB2

v

=8.0×10-26kg  
若质量最大的离子不能穿过直线OA，则所有离子必都不能到达x轴，由图可知使离子不能打到x轴上的最大半径：r3=

0.2

2 +1

m
设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B₀，则
 qvB0=

m1v2

r3

解得  B₀=

2 +1

4

T=0.60T      
则：B₂?≥0.60T   
答：（1）离子运动的速度为5.0×10⁵m/s；
（2）x轴上被离子打中的区间范围为0.1m≤x≤0.2

2

m；
（3）离子从Q运动到x轴的最长时间为7.14×10^-7 s；
（4）若只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小应满足B₂?≥0.60T．

点评：该题主要考查了带电粒子在磁场中的运动．要求同学们能正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系求得轨道半径，能用向心力公式和周期公式解题，难度较大，属于难题．