Question

一小轿车从高为10m、倾角为37°的斜坡顶端从静止开始向下行驶，当小轿车到达底端时进入一水平面，在斜坡底端115m的地方有一池塘，发动机在斜坡上产生的牵引力为2×10³ N，在水平地面上调节油门后，发动机产生的牵引力为1.4×10⁴ N，小轿车的质量为2t，小轿车与斜坡及水平地面间的动摩擦因数均为0.5（g取10m/s²）．求：
（1）小轿车行驶至斜坡底端时的速度；
（2）为使小轿车在水平地面上行驶而不掉入池塘，在水平地面上加速的时间不能超过多少？（轿车在行驶过程中不采用刹车装置）

Answer 1

分析：（1）小轿车在斜坡上行驶时，受到重力、牵引力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律求出加速度．小轿车在斜坡运动时初速度为零，通过的位移为x₁=

h

sin37°

，再由速度-位移关系式求出小轿车行驶至斜坡底端时的速度；
（2）为使小轿车在水平地面上行驶而不掉入池塘，小轿车先做加速运动，后做减速运动，当运动池塘边速度恰好为零时，加速的时间最短．根据牛顿第二定律分别求出加速和减速运动的加速度，由速度-位移关系列出这两段位移的表达式，由两位移之和等于x₂=115m，求出关闭油门时轿车的速度，由速度公式求出加速的时间．

解答：解：
（1）小轿车在斜坡上行驶时，由牛顿第二定律得
   F₁+mgsin37°-μmgcos37°=ma₁
代入数据得  a₁=3 m/s²
   由v₁²=2a₁x₁=2a₁

h

sin37°

得行驶至斜坡底端时的速度v₁=10m/s．
（2）在水平地面上加速时，由牛顿第二定律得
   F₂-μmg=ma₂
代入数据得a₂=2 m/s²
关闭油门后减速μmg=ma₃
  代入数据得a₃=5 m/s²
关闭油门时轿车的速度为v₂
 

v 2 2 - v 2 1

2a2

+

v 2 2

2a3

=x₂
得v₂=20 m/s
  t=

v2-v1

a2

=5s，即在水平地面上加速的时间不能超过5s．
答：（1）小轿车行驶至斜坡底端时的速度是10 m/s；
    （2）为使小轿车在水平地面上行驶而不掉入池塘，在水平地面上加速的时间不能超过5s．

点评：本题运用牛顿第二定律和运动学公式结合处理多过程问题，关键是求解加速度．第（1）问也可以根据动能定理求解．