Question

（2013?厦门一模）如图所示，MN为两平行金属板，O、O为两金属板中心处正对的两个小孔，N板的右侧空间有磁感应强度大小均为B且方向相反的两匀强磁场区，图中N板与虚线CD、PQ为两磁场边界线，三条界线平行，两磁场区域的宽度分别为d和3d，沿边界线方向磁场区域足够大．在两金属板上加上大小可调节的直流电压，质量为m、电量为-q的带电粒子（重力不计）；从O点由静止释放，经过MN板间的电场加速后，从O'沿垂直于磁场方向射入磁场，若粒子能穿过CD界并进入CD右侧磁场但不能穿过PQ界，最终打到N板而结束运动，试求：
（1）粒子要能穿过CD界并进入CD右侧磁场，MN板间的电压至少要大于多少；
（2）粒子不穿过PQ界，粒子从O射入磁场所允许的最大速率；
（3）最大速率射入磁场的粒子在磁场中运动的总时间．

Answer 1

分析：先由动能定理求出加速场中加速后获得的速度的表达式；由几何关系确定半径然后由根据牛顿第二定律列方程；
先画出粒子在右边磁场的运动轨迹，相切时为临界情况，由几何关系确定半径，然后求得速度v；
确定出粒子偏转的圆心角，然后根据周期公式求运动时间．

解答：解：（1）设MN间电压为U₀时，若粒子在CD左侧磁场中运动的圆弧与CD界相切，如图甲，
粒子经电场加速：qU₀=

1

2

mv₀²
在磁场中运动的圆周半径：r₀=d
qBv₀=m

v02

r0

由上述得：U₀=

qB2d2

2m

粒子要穿过C界，电压应大于：

qB2d2

2m

．
（2）设粒子射入磁场速度为v时，粒子在CD左侧轨迹圆心为O₁，右侧轨迹圆心为O₂且圆弧与PQ相切，恰好不射出PQ界，
如图乙，
有：左右两圆周半径相同，均为r=2d
qBv=

mv2

r

得：v=

2qBd

m

（3）由图得圆弧圆心角为θ=

π

6

，α=

4π

3

粒子圆周运动周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

粒子经过三段圆弧运动时间分别为：
t₁=t₃=

θ

2π

T
t₂=

α

2π

T
在磁场中运动总时间：t=t₁+t₂+t₃=

5πm

3qB

答：（1）粒子要能穿过CD界并进入CD右侧磁场，MN板间的电压至少要大于：

qB2d2

2m

；
（2）粒子不穿过PQ界，粒子从O射入磁场所允许的最大速率为

2qBd

m

；
（3）最大速率射入磁场的粒子在磁场中运动的总时间为

5πm

3qB

．

点评：本题考查了带电粒子在磁场中的圆周运动，关键是能画出临界情况的运动轨迹．