Question

如图（a）所示，小球甲固定于足够长光滑水平面的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在光滑水平面的滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化。现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）所示中的实线所示。已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上x=11cm点的切线，斜率绝对值k=0.03J/ cm。

试求：（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？

（2）小球乙在光滑水平面上何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；

（3）小球乙经过x=11cm时加速度大小和方向。

Answer 1

解：

（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最少，速度最大，

能量守恒：    （2分）

解得       （2分）

（2）在0<x<6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀。  （2分）

原因： 在0<x<20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm <x<∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J。若小球乙的静止释放点在6cm <x<∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置。而静止释放点在0<x<6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次。                  （3分）

（3）x₃=11cm处的切线斜率绝对值k=0.03J/ cm=3J/m

表明此处乙球受到甲球F=3N的排斥力，（2分）                               

 所以，乙球在x₃=11cm处时，加速度大小    （2分）

方向沿x轴正方向（1分）